Tp.3 Ej.6.b

Miércoles, mayo 14th, 2008

6) Analice la continuidad en el orgien de los siguientes campos escalares.
b) f(x,y) = \begin{cases} \frac{1-\cos(xy)}{x} & si \ x \neq 0 \\ 0 & si \ x=0 \end{cases}

Nos piden: analizar si es continua en el origen. Aproximándonos por el eje y tenemos que x=0 donde la función vale 0, por lo tanto por ese camino el límite existe y es igual a la función, para los otros caminos debemos hacer el límite con la función de arriba, es decir cuando x \neq 0

\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1-\cos(xy)}{x}

Si y=0 nos queda
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(0)}{x}
\lim_{x \to 0} \frac{1-1}{x}
\lim_{x \to 0} \frac{0}{x} = 0

Si y \neq 0 entonces podemos multiplicar y dividir por y

\lim_{(x,y) \to (0,0)} y \frac{1-cos(xy)}{xy}

\lim_{y \to 0} y \cdot \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1-cos(xy)}{xy}

El primer límite es un infinitésimo. Para el segundo límite si t=xy , tenemos que cuando (x,y) \to (0,0) entonces t \to 0 .

Por lo tanto el segúndo límite se convierte en

\lim_{t \to 0} \frac{1-\cos(t)}{t}

aplico L’Hopital

\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{1} = 0

Como el límite doble resultó ser un producto de infinitésimos, el límite existe y es igual al valor de la función en el punto, por lo tanto la función f(x,y) es contínua en el orígen.

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2 comentarios el “Tp.3 Ej.6.b

  1. Pablo dice:

    Hola Damian.
    Me perdi con la resolucion de este ejercicio.
    Es decir, como el lim es una indeterminacion 0/0, al multiplicar por 1/y seguiria siendo una indeterminacion.
    Pero la si multiplico por 1/y, deveria multiplicar por y,
    Pero creo que no se multilpico por y.
    No faltaria un paso en la resolucion ?

    Saludos.
    Pablo.

    • damidami dice:

      Hola Pablo,
      Efectivamente, faltó multiplicar por y, ya lo corregí y modifiqué un poco la explicación.
      Como curiosidad: este ejercicio es de los primeros que subí al blog, de hace casi 2 años.
      Gracias,
      Damián.

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