Tp.7 Ej.12

Miércoles, junio 10th, 2009

Calcule la circulación de f(x,y,z) = (x-y, x, yz) a lo largo de la curva intersección de z = x - y^2 con y=x^2 desde (1,1,0) hasta (-1,1,-2)

Solución:
Llamamos A = (1,1,0) y B = (-1,1,-2).
Por lo tanto queremos calcular la circulación de f sobre C desde A hasta B.

Lo primero que nos conviene hacer es parametrizar la curva.
C(t) = (t, t^2, t-t^4) con -1 \leq t \leq 1
Debemos notar que con esta parametrización estamos recorriendo la curva desde B hasta A, por lo que la circulación nos va a dar con el signo contrario. Podemos reparametrizar la curva para orientarla en el sentido opuesto, o acordarnos de cambiar el signo al final (vamos por esta opción).
También vamos a necesitar el vector tangente en cada punto:
C'(t) = (1,2t, 1-4t^3)

El campo vectorial evaluado en cada punto de la curva lo puedo obtener mediante la composición:
f(C(t)) = (t-t^2, t, t^2(t-t^4))
= (t-t^2, t, t^3-t^6)

La circulación en cada diferencial de curva es la proyección del campo sobre el vector tangente a la curva:
f(C(t)) \cdot C'(t) = (t-t^2, t, t^3-t^6) \cdot (1,2t,1-4t^3)
= t-t^2 + 2t^2 + (t^3-t^6)(1-4t^3)
= t + t^2 + t^3 - 4t^6 - t^6 + 4t^9
= t + t^2 + t^3 - 5t^6 + 4t^9

Por lo tanto la circulación total en el sentido de B hasta A es:
\int_{-1}^1 f(C(t)) \cdot C'(t) dt
= \int_{-1}^1 t + t^2 + t^3 - 5t^6 + 4t^9 dt
= [ \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + \frac{t^4}{4} - 5 \frac{t^7}{7} + 4 \frac{t^{10}}{10} ]_{-1}^1
= \frac{323}{420} - \frac{643}{420} = - \frac{16}{21}

Por lo tanto, cambiando el signo obtenemos la circulación pedida que va desde A hasta B, y es \frac{16}{21}

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