Tp.4 Ej.6.a

Sábado, septiembre 26th, 2009

Estudie la derivabilidad en distintas direcciones en el punto A que se indica en cada caso.

a) f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy-x}{x^2 + (y-1)^2} & si \ (x,y) \neq (0,1) \\ f(x,y) = 0 & si \ (x,y) = (0,1) \end{cases}

Solución:

Las derivadas direccionales en el punto (0,1) y la dirección del vector:
v = (v_1, v_2) con |v| = 1 (o sea v^2_1 + v^2_2 = 1)
son:
\lim_{h \to 0} \frac{f(hv_1, 1+hv_2) - f(0,1)}{h}

\lim_{h \to 0} (f(hv_1, 1+hv_2))(\frac{1}{h})

\lim_{h \to 0} \frac{hv_1(1+hv_2) - hv_1}{h^2v^2_1 + (1+hv_2-1)^2} (\frac{1}{h})

\lim_{h \to 0} \frac{hv_1(1+hv_2) - hv_1}{h^2v^2_1 + h^2v^2_2} (\frac{1}{h})

\lim_{h \to 0} \frac{hv_1(1+hv_2) - hv_1}{h^2} (\frac{1}{h})

\lim_{h \to 0} \frac{hv_1+h^2v_2v_1 - hv_1}{h^2} (\frac{1}{h})

\lim_{h \to 0} \frac{h^2v_2v_1}{h^2} (\frac{1}{h})

\lim_{h \to 0} v_1v_2 (\frac{1}{h})

este límite existe solamente cuando se anula el numerador o sea cuando:
v_1v_2 = 0
esto ocurre solamente si:
v_1 = 0 o v_2 = 0

por lo tanto las únicas derivadas direccionales que existen son las derivadas parciales (en las direcciones paralelas a los ejes de coordenadas x e y), y el valor de la derivada en esos casos es 0.

tp4_ej6a
draw3d(user_preamble = "set pm3d at s depthorder",
xu_grid=80, yv_grid=80,
xlabel = "x",
ylabel = "y",
zlabel = "z",
enhanced3d = true,
explicit((x*y-x)/(x^2+(y-1)^2),x,-1,1,y,0,2)
);

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6 comentarios el “Tp.4 Ej.6.a

  1. jicnacho dice:

    Hola, no me queda claro porque este límite existe solo cuando se anula el numerador.

    • dami dice:

      Hola jicnacho, porque sinó te queda un cociente de un numerador finito sobre un infinitésimo (tiende a “infinito”) y decimos que no existe el límite.

  2. jicnacho dice:

    Ok, entiendo. Muchas gracias Damian!

  3. Flor dice:

    No entiendo por qué tiene que ser paralelo a los ejes. Por qué no podría ser (a;0) o (0;b)?

  4. Flor dice:

    Ya entendí por qué. Gracias de todas formas

  5. juan dice:

    Hola disculpa la molestia, no entiendo bien esta parte de derivadas direccionales, podrias hacer o explicarme como es que se resueve este tema, por ejemplo el 6b.
    Muchas gracias

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