Tp.1 Ej.16

Halle la S.G. de y'' - 2y' = x

Solución:

Primero bajamos el orden de la ecuación diferencial haciendo una sustitución:

w = y'

y nos queda

w' - 2w = x

Ahora sustituimos w=uv
w' = u'v + uv'
y nos queda

u'v+uv' - 2uv = x
sacamos u factor común

u(v' - 2v) + u'v = x
Igualamos a cero el factor

v' - 2v = 0
v' = 2v
\frac{1}{v} dv = 2dx
\ln(|v|) = 2x no hace falta la constante porque en esta primer etapa buscamos una solución particular
v = e^{2x}

Ahora averiguamos u
u' e^{2x} = x
u' = xe^{-2x}
u = -\frac{xe^{-2x}}{2} - \frac{e^{-2x}}{4} + c

Por lo tanto
w = uv = -\frac{x}{2} - \frac{1}{4} + ce^{2x}

Finalmente, integrando obtenemos la solución buscada
y = -\frac{x^2}{4} - \frac{1}{4}x + \frac{ce^{2x}}{2} + c_2

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4 comentarios en “Tp.1 Ej.16

  1. Hola Damian, en la guia el resultado da distinto. El termino (Ce^2x/2) aparece como (Ce^2x) simplemente. El resto de los terminos son iguales a tu resultado. Te pregunto por que yo usando otro metodo llegue al mismo resultado que vos. Gracias por llevar adelante este blog, recien arranco pero ya me sirvio muchisimo!!

  2. Hola Ocuart,
    El resultado está expresado distinto pero lo importante es que la solución es la misma. Fijate que las curvas que se obtienen al fijar valores a las constantes en ambos casos son las mismas (cambia que valores tenes que asignar a las constantes para obtener una cierta curva, pero eso no importa).
    Saludos,
    Damián.

    • Veo que utilizaste el método de sustitución y = uv (1)

      En clase vimos otro método que usa la propiedad y_G= y_h + y_p (2),
      donde y_G es sol. gral,
      y_h es sol. homogénea y
      y_p es sol. particular.

      El método (1) pareciera ser bastante directo. El método (2) comparado resulta más engorroso y con más pasos.

      En tu opinión ¿cuál de los dos conviene utilizar y en que caso?

      Muchas Gracias!

  3. Respecto a tu respuesta anterior gracias! en realidad (Ce^2x/2) se puede expresar también como (C/2 e^2x) y en definitiva afecta solo a la constante.

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