Tp.1 Ej.16

Martes, abril 6th, 2010

Halle la S.G. de y'' - 2y' = x

Solución:

Primero bajamos el orden de la ecuación diferencial haciendo una sustitución:

w = y'

y nos queda

w' - 2w = x

Ahora sustituimos w=uv
w' = u'v + uv'
y nos queda

u'v+uv' - 2uv = x
sacamos u factor común

u(v' - 2v) + u'v = x
Igualamos a cero el factor

v' - 2v = 0
v' = 2v
\frac{1}{v} dv = 2dx
\ln(|v|) = 2x no hace falta la constante porque en esta primer etapa buscamos una solución particular
v = e^{2x}

Ahora averiguamos u
u' e^{2x} = x
u' = xe^{-2x}
u = -\frac{xe^{-2x}}{2} - \frac{e^{-2x}}{4} + c

Por lo tanto
w = uv = -\frac{x}{2} - \frac{1}{4} + ce^{2x}

Finalmente, integrando obtenemos la solución buscada
y = -\frac{x^2}{4} - \frac{1}{4}x + \frac{ce^{2x}}{2} + c_2

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4 comentarios el “Tp.1 Ej.16

  1. Ocuart dice:

    Hola Damian, en la guia el resultado da distinto. El termino (Ce^2x/2) aparece como (Ce^2x) simplemente. El resto de los terminos son iguales a tu resultado. Te pregunto por que yo usando otro metodo llegue al mismo resultado que vos. Gracias por llevar adelante este blog, recien arranco pero ya me sirvio muchisimo!!

  2. dami dice:

    Hola Ocuart,
    El resultado está expresado distinto pero lo importante es que la solución es la misma. Fijate que las curvas que se obtienen al fijar valores a las constantes en ambos casos son las mismas (cambia que valores tenes que asignar a las constantes para obtener una cierta curva, pero eso no importa).
    Saludos,
    Damián.

    • Ocuart dice:

      Veo que utilizaste el método de sustitución y = uv (1)

      En clase vimos otro método que usa la propiedad y_G= y_h + y_p (2),
      donde y_G es sol. gral,
      y_h es sol. homogénea y
      y_p es sol. particular.

      El método (1) pareciera ser bastante directo. El método (2) comparado resulta más engorroso y con más pasos.

      En tu opinión ¿cuál de los dos conviene utilizar y en que caso?

      Muchas Gracias!

  3. Ocuart dice:

    Respecto a tu respuesta anterior gracias! en realidad (Ce^2x/2) se puede expresar también como (C/2 e^2x) y en definitiva afecta solo a la constante.

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