Tp.10 Ej.24

Lunes, julio 20th, 2009

Calcule el flujo de f \in C^1 a través de la semiesfera de ecuación z = \sqrt{1-x^2-y^2} sabiendo que f(x,y,0) = (x,y,x^2), siendo div(f(x,y,z)) = 2(1+z)

Solución:
Lo importante es notar que el campo vectorial sólo nos lo dan en el plano xy, es decir que no podemos integrar el flujo directamente sobre la superficie ya que no conocemos el campo sobre la misma.
Lo que podemos hacer es ‘cerrar’ la superficie con el plano xy, y calcular la divergencia sobre el volumen, luego le restamos la tapa ya que sí conocemos el campo sobre esta.

Empecemos por calcular la divergencia sobre el volumen:
Vamos a usar coordenadas esféricas, por lo tanto la divergencia se transforma en:
2(1+z) = 2+2z = 2+2\rho\cos(\theta)

2\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \sin(\theta) d\theta \int_0^1 \rho^2 d\rho + 2\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \sin(\theta)\cos(\theta) d\theta \int_0^1 \rho^3 d\rho
= \frac{4\pi}{3} + \pi [-\frac{1}{2}\cos^2(\theta)]_0^{\pi/2}
= \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{11}{6}\pi

Ahora nos falta restar la tapa, que es la circunferencia unitaria sobre el plano xy, el vector normal lo tenemos que tomar ‘hacia abajo’ para que sea saliente de nuestro volumen, es decir N = (0,0,-1)
O sea que el diferencial de flujo tendrá la forma f \cdot N = (x,y,x^2) \cdot (0,0,-1) = -x^2
Pasando a polares sería -\rho^2\cos^2(\phi)

-\int_0^{2\pi} \cos^2(\phi) d\phi \int_0^1 \rho^3 d\rho
= -\frac{1}{4} [\frac{\phi}{2} + \frac{1}{4}\sin(2\phi)]_0^{2\pi}
= -\frac{\pi}{4}

Como queríamos el flujo sobre la semiesfera, al flujo total le restamos la tapa, es decir que el flujo pedido era \frac{11}{6} \pi - (-\frac{1}{4} \pi) =  \frac{25}{12} \pi

En el siguiente gráfico se pueden visualizar la superficie de la semiesfera de color azul y la tapa de color rojo.

tp10_ej_24
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
parametric_surface(cos(u)*sin(v), sin(u)*sin(v), cos(v), u, 0, 2*%pi, v, 0, %pi/2),
color = "red",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 0, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi),
head_both = true,
color = "black",
vector([0,0,0],[0,0,-1/2]),
vector([1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3)],[1,1,1]/3)
);

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5 comentarios el “Tp.10 Ej.24

  1. Pablo dice:

    Hola Damian,

    Una consulta, porque para calcular la divergencia sobre el volumen, sumastes dos elemetos de volumen (me refiero a la suma de las 2 integrales.)

    Saludos.
    Pablo.

  2. damidami dice:

    Hola Pablo,

    En realidad, es una integral sola, a decir \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \sin(\theta) d\theta \int_0^1 \rho^2 (2+2\rho \cos(\theta)) d\rho, y usé la propiedad de linealidad de las integrales para separarla en dos integrales mas sencillas (i.e. \int \alpha f + \beta g dx = \alpha \int f dx + \beta \int g dx)

    Saludos,
    Damián.

  3. jicnacho dice:

    Hola Damian,

    Es posible que haya un error al integrar el termino que tiene seno por coseno en la primer integral?

    Voy a ver si me sale con latex:

    Es decir, la integral de
    [2\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \sin(\theta) d\theta \int_0^1 \rho^2 d\rho + 2\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \sin(\theta)\cos(\theta) d\theta \int_0^1 \rho^3 d\rho].

    No debería ser..
    [= \frac{4\pi}{3} + \pi [-\frac{1}{2}\sin^2(\theta)]_0^{\pi/2}].
    ?

    • damidami dice:

      Hola jicnacho,

      Te salió bastante bien el latex 😉

      En realidad hay dos formas distintas de obtener la primitiva de \int \sin(x) \cos(x) dx

      Si
      u = \sin(x)
      du = \cos(x) dx
      Entonces
      \int \sin(x)\cos(x) dx = \sin^2(x)/2 + c

      Pero si sustituimos
      u = \cos(x)
      du = -\sin(x) dx
      Entonces
      \int \sin(x)\cos(x) dx = -\cos^2(x)/2 + c

      Es decir que mientras tengas cuidado con el signo, podés usar tanto \sin^2(x) como \cos^2(x)

  4. jicnacho dice:

    Perfecto, ahora lo entendí que no es que sean iguales ambas ecuaciones, sino que cuando se evaluan en intervalos el resultado es el mismo.

    Gracias Damián

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