Tp 3 Ej 7.a

Miércoles, mayo 14th, 2008

7) Analice la continuidad en el origen de los siguientes campos escalares.

a) f(x,y) = \begin{cases} x^3/(x^2 + y) & si \ x^2 + y \neq 0 \\ 0 & si \ x^2 + y = 0 \end{cases}

Solución:
Antes que nada voy a llamar
f_1(x,y) = \frac{x^3}{x^2+y}
y
f_2(x,y) = 0

La función f(x,y) está definida en el origen y vale 0.
Ahora analizamos el límite doble cuando me acerco al origen.

En f_1 :
\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^3}{x^2+y}

Si nos acercamos al origen por la curva y = x^3 , nos queda

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{x^2+x^3}
Lo cual es una indeterminación de tipo 0/0. Aplicamos L’Hopital:

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x^2}{2x+ 3x^2}
Vuelvo a aplicar L’Hopital:

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{6x}{2 + 6x}

Lo cual ya no es una indeterminación, y da 0, por lo cual todavía no podemos afirmar nada.

La idea es encontrar un camino por la cual el límite de distinto, por eso buscamos que el denominador tienda a cero igual o mas rápido que el numerador.
Veamos ahora de acercarnos por la curva y = x^3 - x^2

\lim_{ x \to 0} \frac{x^3}{x^2+ x^3 - x^2}
\lim_{ x \to 0} \frac{x^3}{x^3} = 1 \neq 0

Ahora si encontramos un camino que pasa por el origen y hace que el límite de distinto, por lo tanto no existe límite y no es contínua en el origen.

Anuncios

5 comentarios el “Tp 3 Ej 7.a

  1. calvopablo dice:

    \documentclass{article}
    \begin{document}
    Ejercicio nro7G \TeX~document.

    $$f1(x)= \frac{y^2}{x+y}$$
    $$f2(x)=0 \verb” si ” x+y\ne0$$
    \verb”si elijo y=x ”

    $$\mathop{\lim}\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{2x}$$
    \verb”aplico l’hopital y queda el lim… ”
    $$\mathop{\lim}\limits_{a \to \infty} \frac{x^2}{2x} = 0$$
    \verb”De esta forma seria cont. Pero la guia dice que es discontinua”
    \verb”No se donde me equivoque”
    \end{document}

  2. damidami dice:

    Voy a transcribir el código latex ya que no salió bien.

    “Ejercicio nro7G
    f(x,y) = \frac{y^2}{x+y} si x + y \neq 0
    f(x,y) = 0 si x + y = 0

    Si elijo y=x
    \lim_{x \to 0} \frac{x^2} {2x} = 0
    De esta forma sería cont. Pero la guía dice que es discontinua.
    No se donde me equivoqué”.

    Los pasos están bien, pero el error está en interpretar que eso implica que la función es contínua.
    Con ese método sólo comprobás que por un camino dado (y=x) la función parece ser contínua, pero hay infinitos otros caminos por los que todavía puede que no se cumpla la continuidad. Y en caso de ser contínua deberías demostrarlo por alguno de los métodos que vimos (0 por acotada, cambio a una variable, o polares)

  3. jicnacho dice:

    No veo como es que el último límite calculado da 1 (en el ejercicio del post)

  4. damidami dice:

    Hola jicnacho,
    Gracias por el comentario.
    Había un error ya que el límite cuando me acercaba por y = x^3 no tendía a 1 sino a 0. Ahora lo corregí, y agregué el camino y = x^3 - x^2 por el cual el límite tiende a 1.

  5. belenada dice:

    Gracias a su artículo encontré la solución a lim _{(x,y) toward (0,0)}~ {{x^{2}- y^{2}} over {x^{2}+y} } que llevaba días buscando. Gracias! Estupendo artículo.

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: