Tp.5 Ej.10

10) Sea S la superficie de ecuación \vec{X} = (u-v^2, v^2 /u, u/v) con (u,v) \in \mathbb{R}^2 / uv \neq 0, verifique que \vec{A} = (-2,2,1) es un punto regular de S. Determine y exprese en forma cartesiana el plano tangente y la recta normal a S en \vec{A}.

Solución:

La superficie paramétrica es
S(u,v) = (u-v^2, \frac{v^2}{u}, \frac{u}{v})

Los parámetros del punto \vec{A} son (u,v) = (2,2) pues
S(2,2) = (-2, 2, 1) = \vec{A}

S'_u = (1, - \frac{v^2}{u^2}, \frac{1}{v} )
S'_v = (-2v, 2 \frac{v}{u}, - \frac{u}{v^2} )

S'_u(2,2) = (1, -1, \frac{1}{2})
S'_v(2,2) = (-4, 2, -\frac{1}{2})

El producto vectorial de las derivadas parciales es distinto del vector nulo
\vec{N} = (S'_u \wedge S'_v)(2,2) = (-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -2) \neq \vec{0}

luego \vec{A} es un punto regular de la superficie S.

El plano tangente viene dado por
(\vec{X} - \vec{A}) \cdot \vec{N} = 0
(x+2, y-2, z-1) (-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -2) = 0
(x+2, y-2, z-1) (1, 3, 4) = 0
x + 2 + 3y - 6 + 4z - 4= 0
x + 3y + 4z - 8 = 0

La recta normal en paramétricas
r(\lambda) = \vec{A} + \lambda \vec{N}
= (-2,2,1) + \lambda (-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -2)
con t = -2\lambda
r(t) = (-2,2,1) + t(1,3,4)
= (-2+t, 2+3t, 1+4t)

Si
x = -2+t
y = 2+3t
z = 1+4t

entonces
t = x+2
y = 2+ 3(x+2)
z = 1 + 4(x+2)

luego ecuación cartesiana de la recta normal es
y = 8 + 3x
z = 9 + 4x

En el siguiente dibujo podemos ver la superficie en azul, el plano tangente en verde, y la recta normal en rojo.

draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
parametric_surface(u-v^2, v^2/u, u/v, u, 1.5, 2.1, v, 1.5, 2.1),
color = "green",
explicit(-x/4-3*y/4 + 2, x, -3, -1, y, 1, 3),
color = "red",
parametric(-2+t,2+3*t,1+4*t, t,-0.5,0.5)
);
Anuncios
Esta entrada fue publicada en TP05 - Diferenciabilidad. Guarda el enlace permanente.

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s