Tp.10 Ej.2

Jueves, julio 23rd, 2009

Calcule la circulación de f(x,y) = (x^2 + y^2, 3xy + \ln(y^2+1)) a lo largo de la frontera de la región definida por 4x^2 + (y-1)^2 \leq 1 recorrida en sentido positivo.

Solución:
Este ejercicio parece ideal para aplicar el teorema de Green.

green(f) = \left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ x^2 + y^2 & 3xy + \ln(y^2 + 1) \end{matrix} \right|
= 3y - 2y = y

Ahora vamos a integrar y sobre el area que encierra la curva, para eso elijo este sistema de coordenadas:

x = \frac{1}{2}\rho \cos(\phi)
y = \rho \sin(\phi) + 1

Calculamos el módulo del determinante de su jacobiano:
|J| = \left| \begin{matrix} -\frac{1}{2}\rho \sin(\phi) & \rho \cos(\phi) \\ \frac{1}{2}\cos(\phi) & \sin(\phi) \end{matrix} \right|
= |-\frac{1}{2}\rho \sin^2(\phi) - \frac{1}{2}\rho\cos^2(\phi)|
= \frac{1}{2} \rho

Por lo tanto la integral en el nuevo sistema de coordenadas nos queda:

\frac{1}{2} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho (\rho \sin(\phi) + 1)d\rho
= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \sin(\phi) d\phi \int_0^1 \rho^2 d\rho + \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho d\rho

= \frac{1}{2} [-cos(\phi)]_0^{2\pi} [\frac{\rho^3}{3}]_0^1 + \pi [\frac{\rho^2}{2}]_0^1

= \frac{\pi}{2}

Por lo tanto la circulación en el sentido pedido es \frac{\pi}{2}.

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4 comentarios el “Tp.10 Ej.2

  1. eric dice:

    No se pero no me dan las cuentas de como llegaste a pi/2, un termino me da -1/6 y el otro pi/2 … pls ayuda

  2. Lu Montoya dice:

    Por que se hace cambio de variable y no parametrizacion?

    • dami dice:

      Hola Lu,
      Porque la f es “fea” de integrar (tiene logaritmo y polinomios de grado 2), mientras que green(f) = y es un polinomio de grado 1, conviene usar green.
      Saludos,
      Damián.

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