Tp.7 Ej.16

Sábado, noviembre 14th, 2009

Sea f: \mathbb{R}^2 - \{ 0 \} \to \mathbb{R}^2 / f(x,y) = \left( \frac{y}{x^2+y^2}, \frac{-x}{x^2+y^2} \right), demuestre que f tiene matriz jacobiana contínua y simétrica en su dominio, pero no admite función potencial en él.

Solución:

Primero busquemos la matriz jacobiana:

Df = \begin{pmatrix} \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} & \frac{(x^2+y^2) - 2y^2}{(x^2+y^2)^2} \\ \frac{-(x^2+y^2) + 2x^2}{(x^2+y^2)^2} & \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{pmatrix}

Los componentes de la matriz son contínuos en su dominio Dm(Df) = \mathbb{R}^2 - \{ 0 \} por no haber indeterminación y tratarse de cociente de polinomios.

Veamos si es simétrica, debemos mostrar que Df_{12} = Df_{21}
Df_{12} = \frac{(x^2+y^2) - 2y^2}{(x^2+y^2)^2}
= \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}
Por otro lado:
Df_{21} = \frac{-(x^2+y^2) + 2x^2}{(x^2+y^2)^2}
= \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}
= Df_{21}

por lo tanto la matriz es simétrica, y contínua, o sea que f cumple con las condiciones necesarias para la existencia de función potencial (jacobiano contínuo y simétrico).
Pero el dominio no es simplemente conexo ya que es Dm(f) = \mathbb{R}^2 - \{ 0 \} (recordar que en \mathbb{R}^2 simplemente conexo es equivalente a decir que no hay “agujeros” en el dominio, y en este caso está faltando el origen). Por lo tanto no podemos todavía garantizar que exista función potencial en todo el dominio.
Veamos que pasa si calculamos la circulación sobre una circunferencia unitaria centrada en el origen:

C(t) = (\cos(t), \sin(t)) 0 \leq t \leq 2\pi
C'(t) = (-\sin(t), \cos(t))

\int_0^{2\pi} (\sin(t), -\cos(t)) \cdot (-\sin(t), \cos(t)) dt
\int_0^{2\pi} -\sin^2(t) -\cos^2(t) dt
-\int_0^{2\pi} dt = -2\pi \neq 0

por lo tanto, como la circulación sobre una trayectoria cerrada nos da distinto de cero, podemos afirmar que el campo es no conservativo, es decir, que no admite función potencial en su dominio.

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3 comentarios el “Tp.7 Ej.16

  1. Andrea dice:

    Hola Damian, me surgio una duda sobre comprobar la existencia de f.potencial.
    Si f cumple con las condiciones necesarias para la existencia de función potencial (jacobiano contínuo y simétrico) y luego calculas la circulacion en una cuva cerrada y te da cero….¿con eso ya podemos decir q admite potencial? lo estoy calculando sobre una sola curva..y podria pasar que la circulacion de cero sobre “algunas” curvas y no en todas no?

    osea si me da cero la circulacion sobre una curva cerrada, y ya cumple la condicion necesaria…¿puedo afirmar que tiene f. potencial o debo comprobar algo mas??
    Gracias

    • dami dice:

      Hola Andrea,
      Para que el campo sea conservativo (exista función potencial), la curva sobre cualquier curva cerrada debe dar cero.

      Si cumple la condición necesaria, y la de suficiencia (dominio símplemente conexo), sabés que existe función potencial.

      En este ejercicio no se cumplía la condición de suficiencia (falta el origen de coordenadas, no es símplemente conexo). Cuando es así alcanza con que la circulación sobre cualquier curva cerrada que encierra el punto problemático te de cero para que exista función potencial. En este ejercicio dió distinto de cero y por lo tanto no admite función potencial.

      Suerte,
      Damián.

    • Andrea dice:

      Gracias Damián, me quedo claro !

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