Tp.11 Ej.1.d

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas de 1º orden.

d) y' = y/(x-y)

Solución:

Sustituyo por y = zx

z'x + z = \frac{zx}{x-zx}

z'x = \frac{z}{1-z} - z

z'x = \frac{z-z(1-z)}{1-z}

\frac{dz}{dx}x = \frac{z-z+z^2}{1-z}

\frac{1-z}{z^2}dz = \frac{1}{x}dx

\int \frac{1}{z^2} - \frac{1}{z} dz = \int \frac{1}{x} dx

\frac{-1}{z} - \ln(|z|) = \ln(|x|) + c

pero como z = \frac{y}{x}

\frac{-x}{y} - \ln(|y|) + \ln(|x|) = \ln(|x|) + c

yc + y\ln(|y|) + x = 0

Es posible resolver ecuaciones diferenciales con el sofware Maxima, vamos a emplearlo para verificar nuestro resultado, primero ingresamos la ecuación diferencial

eq:'diff(y,x) = y/(x-y);
ode2(eq,y,x);

la respuesta que produce al ejecutarlo es

\frac{y\,log\left( y\right) +x}{y}=\%c

lo cual verifica con nuestro resultado.

También se pueden graficar ecuaciones diferenciales sencillas de primer orden, como si fueran campos vectoriales, en este caso el gráfico es:
tp11_ej1d
load("plotdf");
plotdf(y/(x-y));

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