Tp.5 Ej.2

Siendo f(x,y) = \sqrt{xy} si xy \geq 0 y f(x,y) = x si xy < 0, calcule f'((0,0), (2,-1)) aplicando la definición. Observe que en este caso f'((0,0),(2,-1)) \neq \nabla f(0,0) \cdot (2,-1), ¿existe la derivada pedida?; si existe, ¿cuál es su valor?.

Solución:

La derivada pedida por definición es el siguiente límite

f'((0,0),(2,-1)) = \lim_{h \to 0} \frac{ f( (0,0) + h(2,-1) ) - f(0,0) }{h}
\lim_{h \to 0} \frac{ f(2h,-h) - f(0,0) }{h}

Para evaluar f(2h,-h) calculamos xy = -2h^2 < 0 pues h \neq 0 dado que h \to 0. Luego hay que entrar en la rama de abajo y f(2h,-h) = 2h

Además se tiene que f(0,0) = \sqrt{0} = 0

Por lo tanto:
= \lim_{h \to 0} \frac{2h - 0}{h} = 2

Así que la derivada pedida existe y su valor es 2.

Calculemos \nabla f(0,0). Sobre los ejes coordenados f vale \sqrt{xy}
f'_x = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h0} - 0}{h} = 0
De forma similar:
f'_y = \lim_{h \to 0} \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{0h} - 0}{h} = 0
Por lo tanto \nabla f(0,0) = (0,0)

Efectivamente se cumple que
f'((0,0),(2,-1)) \neq \nabla f(0,0) \cdot (2,-1)
2 \neq (0,0) \cdot (2,-1)
2 \neq 0

Esto implica que la función no es diferenciable en el origen. En el siguiente gráfico puede observarse la gráfica de la función, y la recta tangente a la superficie en el origen que avanza en la dirección de (x,y)=(2,-1).

tp5_ej2bis
draw3d(
surface_hide = false,
xu_grid=20, yv_grid=20,
xlabel = "x",
ylabel = "y",
zlabel = "z",
color=blue,
parametric_surface(x,y,sqrt(x*y), x,0,2, y,0,2),
parametric_surface(x,y,sqrt(x*y), x,-2,0, y,-2,0),
parametric_surface(x,y,x, x,0,2, y,-2,0),
parametric_surface(x,y,x, x,-2,0, y,0,2),
color=red, line_width=2,
parametric(2*t,-t,2*t,t,-1,1)
);

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3 comentarios en “Tp.5 Ej.2

  1. ¡Buenas!

    Creo que está mal copiado el enunciado, porque en ambas partes de la función la condición es que x.y sea mayor/igual a 0. La rama en que la función es igual a x debería ser con x.y menor a 0, ¿no?

    En la selección de ejercicios también está copiado así.

    ¡Gracias por el laburo, che! 🙂

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