Tp.10 Ej.18

Calcule la circulación de f(x,y,z) = (xy, y-x, yz^2) a lo largo de la curva intersección de x^2+y^2+z^2 = 8 con x = \sqrt{y^2 + z^2} aplicando el teorema del rotor. Indique gráficamente la orientación que ha elegido para recorrer la curva.

Solución:

La curva nos la dan como intersección de una esfera y un cono.
Nos pide que utilicemos el teorema del rotor, por lo que tenemos que elegir una superficie que tenga como frontera a la curva en cuestión. Podríamos elegir tanto a la esfera como al cono, pero primero analicemos la curva a partir de la intersección de ambas superficies.
x^2 + y^2 + z^2 = 8
x = \sqrt{y^2 + z^2}
De la segunda ecuación en la primera:
y^2 + z^2 = 4
O sea que la curva es una circunferencia de radio 2, veamos donde se encuentra:
x^2 + 4 = 8
x^2 = 4, y por la segunda ecuación x debe ser positiva, por lo tanto nuestra curva es una curva plana y se encuentra en el plano x=2

Es decir que podemos simplemente integrar el rotor sobre dicho plano.
Calculemos ahora el rotor del campo:
rot(f) = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ xy & y-x & yz^2 \end{matrix} \right|
= i z^2 - j 0 + k (-1-x)
= (z^2, 0, -1-x)

Como vector normal a nuestro plano vamos a tomar N = (1,0,0)
Por lo tanto el elemento de flujo del rotor sobre el plano es f \cdot N = z^2

Ahora integramos la circunferencia de radio 2, pasando a coordenadas polares en el yz:
y = \rho \cos(\phi)
z = \rho \sin(\phi)
|J| = \rho

Transformando nuestro elemento de flujo queda f \cdot N = \rho^2 \sin^2(\phi)

Por lo tanto el flujo del rotor sobre la superficie es:
\int_0^{2\pi} \sin^2(\phi) d\phi \int_0^{2} \rho^3 d\rho
= 4 [\frac{\phi}{2} - \frac{1}{4}\sin(2\phi)]_0^{2\pi}
= 4\pi

que por el teorema del rotor es equivalente a la circulación pedida.

Es posible realizar integrales múltiples con el software Maxima, por ejemplo la integral doble anterior la escribiríamos como:

integrate( integrate( cos(phi)^2*rho^3, rho, 0, 2), phi, 0, 2*%pi );

y la salida es:

4%pi

lo cual verifica con nuestro resultado.

En la siguiente animación podemos visualizar una sección de la esfera en color celeste, del cono en color rojo, del plano en color verde, la curva en color negro, y los vectores tangente a la curva y normal al plano en color azul:
tp10_ej18b
apply(draw, append([terminal=animated_gif, delay=20],
makelist(gr3d(
rot_vertical=100, rot_horizontal=20*k, surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(sqrt(8)*cos(u)*sin(v), sqrt(8)*sin(u)*sin(v), sqrt(8)*cos(v), u, 0, 2*%pi, v, 0, %pi/2),
color = "light-red",
parametric_surface(u, u*cos(v), u*sin(v), u, 0, 2, v, 0, 2*%pi),
color = "light-green",
parametric_surface(2, u*cos(v), u*sin(v), u, 0, 2, v, 0, 2*%pi),
head_both = true,
color = "blue",
vector([2,0,-1],[1,0,0]),
vector([2,-sqrt(2),-sqrt(2)],[0,sqrt(2),-sqrt(2)]),
line_width=2,
color="black",
parametric(2,2*cos(t), 2*sin(t),t,0,2*%pi)
),
k,0,18)))$

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5 comentarios en “Tp.10 Ej.18

    • Hola jicnacho,
      Gracias por el comentario. Había un error dado que había definido el cambio de variables como:
      y = \rho \cos(\phi)
      z = \rho \sin(\phi)
      (y se sobreentiende x = x)

      por lo tanto efectivamente la transformación de z^2 es \rho^2 \sin^2(\phi) y no \rho^2 \cos^2(\phi), ya lo corregí en el post.

      Fijate que en realidad podríamos haber hecho el cambio a de variables de la siguiente manera:
      y = \rho \sin(\phi)
      z = \rho \cos(\phi)

      manteniendo los mismos límites de integración, es por eso que el resultado final no cambia.

    • Hola Agustín,
      ¿Podrías ser un poco más específico? Siempre que calculamos un flujo sobre una superficie tomamos un vector normal. Podés pensarlo parametrizando, o usando el gradiente. Fijate en tu carpeta o en el apunte teórico.
      Saludos,
      Damián.

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