Tp.4 Ej.2

Dada C de ec. \vec{X}=(u^2, u-2, u+3) con u \in \mathbb{R}, analice si su recta tangente en (9,1,6) interseca…
a) … al eje z.
b) … a \Sigma de ec. z=x-2y^2
c) … a la curva de ec. \vec{X} = (v,2v,32v^{-1}) con v \neq 0.

Solución:

Primero calculemos la recta tangente.
C(u) = (u^2, u-2, u+3)
Si A = (9,1,6) entonces
C(3) = A
C'(u) = (2u, 1, 1)
el vector tangente en A es:
C'(3) = (6,1,1)

por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
r(t) = (9,1,6) + t(6,1,1)
= (9+6t, 1+t, 6+t)

respondamos ahora las preguntas:
a) interseca al ej z
para ello debe existir algún valor de t que cumpla simultáneamente x=y=0
o sea:
9+6t = 0
1+t = 0
de la segunda t = -1, en la primera 3=0 por lo tanto no se cumplen simultáneamente, y la recta tangente no interseca al eje z.

b) interseca a \Sigma de ec. z=x-2y^2
veamos si se cumple para algún valor de t:
6+t = 9+6t - 2(1+t)^2
6+t = 9+6t - 2(t^2 + 2t + 1)
6+t = 9+6t - 2t^2 - 4t - 2
2t^2 - t -1 = 0

\frac{+1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}
de donde se desprende que t_1 = 1 y t_2 = -1/2
por lo tanto la recta tangente interseca a \Sigma en dos puntos: C(1) = (15,2,7) y C(-1/2) = (6, 1/2, 11/2)

c) interseca a la curva de ec. X=(v,2v,32v^{-1}) con v \neq 0.
Llamemos C_2(v) = (v, 2v, 32/v)
Para que se intersecten debe existir al menos un valor de t que cumpla simultáneamente:
9+6t = v
1+t = 2v
6+t = 32/v

de la segunda ecuación:
t = 2v-1
en la primera:
9+6(2v-1) = v
9 + 12v - 6 = v
3 +11v = 0
v = -3/11
por lo tanto t = -17/11
en la tercera ecuación:
6+t = 32/v
49/11 = -352/3
por lo tanto no se cumple simultáneamente para ningún valor de t, y entonces la recta tangente no interseca a la curva C_2.

En el siguiente gráfico se puede visualizar la curva C en azul, la recta tangente en negro, el eje z en color cyan, la superficie \Sigma en rojo, y la curva C_2 en verde. Puede verse las dos intersecciones entre la recta tangente y \Sigma, y que no hay intersecciones ni con el eje z ni con la curva C_2.
tp4_ej2
draw3d(
surface_hide = true,
color=blue, line_width = 3,
parametric(t^2, t-2, t+3,t,-3,5),
color=cyan, line_width = 3,
parametric(0,0,t,t,-300,200),
color=yellow, line_width = 5,
parametric(9, 1, 6,t,0,1),
color=magenta,
parametric(15, 2, 7,t,0,1),
parametric(6, 0.5, 5.5,t,0,1),
color=black, line_width = 3,
parametric(9+6*t, 1+t, 6+t,t,-2,2),
color=red, line_width = 1,
explicit(x-2*y^2,x,-10,20,y,-5,5),
color=green, line_width = 3,
parametric(t, 2*t, 32/t, t, 0.2,2.5),
parametric(t, 2*t, 32/t, t, -2.5,-0.2)
);

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