Dada de ec.
con
, analice si su recta tangente en
interseca…
a) … al eje z.
b) … a de ec.
c) … a la curva de ec. con
.
Solución:
Primero calculemos la recta tangente.
Si entonces
el vector tangente en es:
por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
respondamos ahora las preguntas:
a) interseca al ej z
para ello debe existir algún valor de que cumpla simultáneamente
o sea:
de la segunda , en la primera
por lo tanto no se cumplen simultáneamente, y la recta tangente no interseca al eje z.
b) interseca a de ec.
veamos si se cumple para algún valor de :
de donde se desprende que y
por lo tanto la recta tangente interseca a en dos puntos:
y
c) interseca a la curva de ec. con
.
Llamemos
Para que se intersecten debe existir al menos un valor de que cumpla simultáneamente:
de la segunda ecuación:
en la primera:
por lo tanto
en la tercera ecuación:
por lo tanto no se cumple simultáneamente para ningún valor de , y entonces la recta tangente no interseca a la curva
.
En el siguiente gráfico se puede visualizar la curva en azul, la recta tangente en negro, el eje z en color cyan, la superficie
en rojo, y la curva
en verde. Puede verse las dos intersecciones entre la recta tangente y
, y que no hay intersecciones ni con el eje z ni con la curva
.
draw3d(
surface_hide = true,
color=blue, line_width = 3,
parametric(t^2, t-2, t+3,t,-3,5),
color=cyan, line_width = 3,
parametric(0,0,t,t,-300,200),
color=yellow, line_width = 5,
parametric(9, 1, 6,t,0,1),
color=magenta,
parametric(15, 2, 7,t,0,1),
parametric(6, 0.5, 5.5,t,0,1),
color=black, line_width = 3,
parametric(9+6*t, 1+t, 6+t,t,-2,2),
color=red, line_width = 1,
explicit(x-2*y^2,x,-10,20,y,-5,5),
color=green, line_width = 3,
parametric(t, 2*t, 32/t, t, 0.2,2.5),
parametric(t, 2*t, 32/t, t, -2.5,-0.2)
);