Tp.11 Ej.11.a

Halle la solución particular (S.P.)

a) S.P. de y'' - y' - 2y = 4x^2 tal que y(0) = 1, y'(0) = 4

Solución:

Para buscar la SP primero buscamos la SG, y para ello primero buscamos la SG de la EDO homogénea asociada:
y'' - y' - 2y = 0

Propongo
y=e^{\alpha x}
y' = \alpha e^{\alpha x}
y'' = \alpha^2 e^{\alpha x}

reemplazando
\alpha^2 e^{\alpha x} - \alpha e^{\alpha x} - 2 e^{\alpha x} = 0
e^{\alpha x} [\alpha^2 - \alpha - 2] = 0
llegamos a la ecuación característica:
\alpha^2 - \alpha - 2 = 0
cuyas raíces son
\alpha_1 = 2 y \alpha_2 = -1
por lo tanto la SG de la homogénea es
y_h = c_1 e^{2x} + c_2 e^{-x}

Ahora busco una solución particular con el método de coeficientes indeterminados. Propongo
y = ax^2 + bx + c
y' = 2ax + b
y'' = 2a

reemplazando en la EDO
2a - 2ax - b - 2ax^2 - 2bx - 2c = 4x^2
-2ax^2 + (-2a-2b)x + (2a-b-2c) = 4x^2
queda el sistema de ecuaciones lineales
-2a = 4
-2a-2b = 0
2a-b-2c = 0
de donde
a = -2
b = 2
c = -3
por lo tanto una solución particular es
y_p = -2x^2 + 2x - 3
y la SG de la EDO es y_h + y_p es decir
y = c_1 e^{2x} + c_2 e^{-x} - 2x^2 + 2x - 3

(y su derivada es):
y = 2 c_1 e^{2x} - c_2 e^{-x} - 4x + 2

Ahora que tenemos la SG buscamos la SP que cumple las condiciones iniciales
y(0) = 1
y'(0) = 4

1 = c_1 + c_2 - 3
4 = 2c_1 - c_2 + 2

c_1 + c_2 = 4
2c_1 - c_2 = 2

de la primera
c_2 = 4-c_1
en la segunda
2c_1 - 4 + c_1 = 2
3c_1 = 6
c_1 = 2
c_2 = 2

Finalmente, la SP buscada es

y = 2 e^{2x} + 2 e^{-x} - 2x^2 + 2x - 3

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2 comentarios en “Tp.11 Ej.11.a

    • Hola Jesica,
      Es muy parecido a este, resolvés la homogénea y usas coeficientes indeterminados para la particular, y finalmente y = y_h + y_p.
      Podrías especificar mejor cual es la duda? O transcribir lo que intentastes hacer, para ver en que te estás trabando.
      Suerte,
      Damián.

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