Tp.12 Ej.8.a

Estudie la existencia de extremos relativos (locales) y de extremos absolutos en sus dominios naturales de:

a) f(x,y) = x^2 + y^2 + xy^2

Solución:

Primero averiguamos los puntos críticos, para eso calculamos el gradiente
\nabla f = (2x + y^2, 2y + 2xy)
y lo igualamos a cero:
(2x + y^2, 2y + 2xy) = (0,0)
por lo tanto debe cumplirse simultáneamente que:
2x + y^2 = 0
2y + 2xy = 0

de la segunda restricción:
2y(1+x) = 0
de la cual se desprende que y=0 y por lo tanto x=0, o que x=-1 y por lo tanto y = \sqrt{2} o -\sqrt{2}, o sea que los puntos críticos son:
P_1 = (0,0)
P_2 = (-1,\sqrt{2})
P_3 = (-1, -\sqrt{2})

Ahora calculamos el hessiano:

H = \begin{pmatrix} 2 & 2y \\ 2y & 2 + 2x \end{pmatrix}

y evaluamos su determinante en cada punto crítico, según el criterio del hessiano:

H(P_1) = \left| \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right| = 4 > 0 Por lo tanto es extremo relativo, y como h_{11} = f_{xx} = 2 > 0 entonces resulta que se produce un mínimo relativo en P_1

H(P_2) = \left| \begin{matrix} 2 & 2\sqrt{2} \\ 2\sqrt{2} & 0 \end{matrix} \right| = -8 < 0 Por lo tanto en P_2 no hay extremo sino que es un punto silla.

H(P_3) = \left| \begin{matrix} 2 & -2\sqrt{2} \\ -2\sqrt{2} & 0 \end{matrix} \right| = -8 < 0 Por lo tanto en P_3 tampoco hay extremo sino que es otro punto silla.

Como no hay mas punto críticos concluímos que el único extremo relativo es el mínimo que se produce en P_1 = (0,0).
Para ver si además de ser mínimo local es mínimo global debemos averiguar si su valor es el mínimo que toma la función en todo su dominio:

f(0,0) = 0^2 + 0^2 + 00^2 = 0

pero:
f(-3,-3) = (-3)^2 + (-3)^2 + -3(-3)^2
= 9 + 9 - 3(9) = -9 < 0

por lo tanto P_1 no es un extremo global, sino que sólamente es un extremo relativo.

En el siguiente gráfico podemos observar el mínimo que se produce en P_1 = (0,0) junto con el plano tangente horizontal.
tp12_ej8a
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
explicit(x^2 + y^2 + x*y^2,x,-1,1,y,-1,1),
color = "blue",
explicit(0,x,-1,1,y,-1,1)
);

En este otro gráfico podemos ver el plano tangente horizontal correspondiente a P_2 y P_3 que vendría a ser z=1. Puede verse como en el entorno de dichos puntos, parte de la función queda arriba del plano, y otra aparte abajo, lo cual indica que se trata de puntos silla y no de extremos.
tp12_ej8abis
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
explicit(x^2 + y^2 + x*y^2,x,-2,2,y,-2,2),
color = "blue",
explicit(1,x,-2,2,y,-2,2),
color = "red", line_width=4,
parametric(-1,sqrt(2),1,t,0,1),
parametric(-1,-sqrt(2),1,t,0,1)
);

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