Tp.8 Ej.10.h

Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.
h) H definido por x^2 + 2y^2 + z \leq 32, z \geq x^2

Solución:

Analicemos primero como se intersectan las superficies que nos limitan el volumen, para eso igualamos
x^2 + 2y^2 + z = 32
z = x^2
de la segunda ecuación en la primera:
2x^2 + 2y^2 = 32
x^2 + y^2 = 16
o sea que la proyección sobre el plano xy es una circunferencia de radio 4.

El gráfico del cuerpo H es:
tp8_ej10h_bis
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),u^2*cos(v)^2,u,0,4,v,0,2*%pi),
color="light-red",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v), 32-u^2*cos(v)^2-2*u^2*sin(v)^2, u,0,4,v,0,2*%pi)
);

Aparentemente nos conviene pasar a coordenadas cilíndricas sobre el eje z:
x = \rho \cos(\phi)
y = \rho \sin(\phi)
z = z
y el jacobiano es:
|J| = \rho

Veamos como se transforman las superficies:
\rho^2\cos^2(\phi) + 2 \rho^2 \sin^2(\phi) + z = 32
z = \rho^2 \cos^2(\phi)

Por lo tanto la integral nos queda:
\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^4 \rho d\rho \int_{\rho^2\cos^2(\phi)}^{32-\rho^2\cos^2(\phi) - 2 \rho^2 \sin^2(\phi)} dz

\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^4 \rho (32-2\rho^2) d\rho

2 \pi \int_0^4 32\rho - 2\rho^3 d\rho

2 \pi [16 \rho^2 - \frac{\rho^4}{2}]_0^4

2 \pi (256 - 128) = 256\pi

Es posible realizar animaciones con el software wxMaxima, por ejemplo podemos rotar el cuerpo H con el siguiente comando:
tp8_ej8_10h_ani
apply(draw, append([terminal=animated_gif, delay=20],
makelist(gr3d(
rot_horizontal=20*k, surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),u^2*cos(v)^2,u,0,4,v,0,2*%pi),
color="light-red",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v), 32-u^2*cos(v)^2-2*u^2*sin(v)^2, u,0,4,v,0,2*%pi)
),
k,0,18)))$

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Un comentario en “Tp.8 Ej.10.h

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