1)
Nos dan y
Nos piden calcular
donde es la superficie tapa con orientada hacia abajo.
Luego, como , nos queda
En el gráfico podemos ver la superficie (azul) junto con el plano (rojo) y la proyección (verde)
2)
Nos dan y
Nos piden calcular donde es (por ejemplo) la esfera junto con .
Luego, si definimos nos queda y por lo tanto
donde es un abuso de notación a reemplazar con la ecuación de la superficie (la esfera). Por lo tanto queda
En el gráfico podemos ver la curva (azul) la porción de esfera que tomamos como (en cyan). La esfera y el cilindro se ven en transparencia verde y rojo.
3)
Nos dan con densidad
Nos piden la masa
De (1) y (2) la curva intersección es , por lo tanto , es decir por ser 1º octante resulta con
En cilíndricas
En esféricas, observando que en el plano se produce una recta se tiene que y por lo tanto
donde se tuvo en cuenta el jacobiano y la densidad de masa transformada .
En los gráficos vemos distintas perspectivas de la misma región . Notar que cambia el techo del semicono (verde) por la semiesfera (azul).
4a)
En este enunciado había que corregir donde dice superficie de nivel «7» en realidad va superficie de nivel «0».
Nos dan , es la función potencial de tal que .
La superficie es
Buscamos la función potencial y nos queda luego como se tiene que por lo que .
Por lo tanto la superficie es
Nos piden el área de , y como
y además
se tiene que
En el gráfico se ve la superficie (azul), y su proyección sobre el plano xy (rojo).
4b)
Nos dan y la superficie .
Nos piden el flujo de sobre . De (1) y (2) sacamos eliminando obtenemos luego luego la proyección en el plano es la región del 1er cuadrante con
Defino , luego , y el flujo pedido orientado hacia es
donde es un abuso de notación a reemplazar con la superficie de ecuación (1), por lo tanto nos queda
En el gráfico se la sección de esfera (verde) y del cilindro (cyan) como transparencias. También se la superficie (azul, salió un poco verde por la esfera) y la proyección sobre el plano yz (rojo).
Una pregunta Damián.
En el ejercicio 2. Yo entre en duda de a que superficie hacerle el gradiente. No me termina de cerrar del todo…porque hay que usar la ecuación de la esfera y no la del cilindro? La del cilindro entonces la usarías para ver el recinto proyección y así sacar los limites de integración?
Digo eso, ya que también para el despeje de Z usamos la ecuación de la esfera..
Yo proyecté en este parcial sobre el YZ, pero en una parte de la integral te queda dividiendo por (6y-y^2)^(1/2)… osea raiz de 6y – y^2… la Y va de 0 a 6… la integral de eso la hice con un programa y queda un choclo… pero al fin y al cabo queda dividiendo la misma raiz… esa raiz en 0 y 6 da 0… osea queda division por 0… 😦
Retiro lo dicho, ahora me tira que existe XD
Cambié las variables por X e Y pero acá está:
http://www5a.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP14321ebf64ieg3if90b700002f0hd94807cea1c8?MSPStoreType=image/gif&s=22&w=414.&h=57.
Hola Damian , tengo una consulta sobre el punto dos , no entiedo porque pones que es un abuso de notacion reemplazar con la sup de ec .Por otro lado en el punto tres no se como darme cuenta que exite una recta y =raiz de tres z.
Desde ya muchas Gracias
Camila
En el 3, pensá en el cono 3Z^2 = X^2 + Y^2, cuando X = 0, queda el plano YZ
3Z^2 = Y^2 —> A ambos le aplicamos raíz —-> (raiz de 3) Z = Y. dps queda lo de tg a = raiz de 3… bla bla bla
En el punto 2 el abuso de notación es que en la integral doble de X e Y, escribió Z, debe reemplazarla porque está mal así, es un cálculo auxiliar si se quiere ver… pero de principio (sin abuso) tenes que poner en vez de z, lo que obtenés de la esfera.
Hola Damian,
En el ejercicio 4b, no entiendo porque al integrar dividis por 2x
Hola Pablo,
Como proyecto la superficie sobre el plano yz, el producto escalar se hace contra . Por eso divido por .
Fijate la teoría de integral de superficie en mi apunte.
Saludos,
Damián.
Hola Damian,
En el ejercicio 3, una vez que ya tenes visualizado el cuerpo a al que se le quiere calcular la masa, porque Ro esta entre 0 y raiz de 3 en vez de entre 0 y 2? Si proyecto en el plano XY tengo el cuarto de circulo delimitado por la esfera de radio 2.
Hola Bruno,
Lo separo como suma de dos integrales porque «cambia el techo»: con el techo es el cono, mientras que con el techo es la esfera.
En el dibujo se ve la separación de estas regiones en el piso (color verde + color azul)
Saludos,
Damián.