Final 15/07/2014

final_15_07_2014

T1)

\nabla f(x,y) = (2x,8y)
\nabla f(0,0) = (0,0)
Hf(0,0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}
f(0,0) es mínimo local.

T2) \int_0^2 dx \int_0^{\sqrt{1 - (x-1)^2}} x^2 + y^2 dy = \boxed{ \frac{3}{4} \pi }
(no se pedía calcular, sólamente expresar)

E1) Un vector tangente a la recta es n = (1,6,-2). Podemos parametrizar la recta con
g(t) = (1+t, 2+6t, 2-2t) con 0 \leq t \leq 1

Luego la circulación es \int_C f dc = \int_0^1 (2+2t, 6+18t, 4-4t) \cdot (1,6,-2) dt = \boxed{ 89 }.

También se podía resolver usando función potencial.

E2) Proyecto sobre xy y uso polares. Queda la integral

A = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2-\rho^2}} \rho d\rho = \boxed{ (4-2\sqrt{2}) \pi }

E3) Queda
y_h = C_1 + C_2 e^x
y_p = -x^2 - 2x
y = C_1 + C_2 e^x - x^2 - 2x
Usando y(0) = 1 y que y'(0) = -2 resulta la SP buscada
\boxed{ y = -x^2 - 2x + 1 }

E4) Proyecto sobre xy orientando hacia z positivo, queda la integral (con abuso de notación)

\int_0^2 dx \int_0^x (2xy, 2yz, 4yz) \cdot (2x,0,1) dy

Cambiando por el z de la superficie

\int_0^2 dx \int_0^x 4x^2 y + 4y (4-x^2) dy = \boxed{ \frac{64}{3} }

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7 respuestas a Final 15/07/2014

  1. Marcelo dijo:

    Maestro. Consulta en el E3. Como es que propones la Yp. O sea, Que formula propones para dicha solucion? porque no es de la forma CX+D? no entiendo eso.
    Podrias hacer el proceso paso a paso para ver bien, como es el procedimiento (Lo mismo para la Yh)

    Gracias

  2. Natalia dijo:

    Hola, en el T2 me podrias decir como definis los limites? muchas gracias

    • dami dijo:

      Hola,
      En el E1) te debería quedar la integral \int_0^1 118t + 30 dt = 89 según wolfram. También sería interesante verificar que da lo mismo usando función potencial.
      Saludos,
      Damián.

      • Tenes razon dami… ando mal con las sumas y restas 😛 ahi lo corregi y lo verifique hallando la funcion potencial …. sos un capo gracias por corregir

  3. sebastian dijo:

    una consulta en el E2, si remplazo Z por el raiz cuadrada de X^2 + Y^2 (es decir, el valor del corte que da en el enunciado ) en vez de despejarlo del area me da otro resultado. esta bien usar el despeje desde el area por ser el area de la superficie en si? espero que haya quedado claro, muchas gracias!

    • dami dijo:

      Hola Sebastián,
      Lo correcto sería reemplazar con el z de la ecuación de la superficie, que en este caso es la esfera.
      Saludos,
      Damián.

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