2º Parcial 12/07/2014 (Amed)

Sábado, julio 12th, 2014

amed_12_07_2014

1)

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Nos dan f(x,y,z) = (y,-x,z) y \Sigma = \begin{cases} z = 12 - 3x^2 - 3y^2 \ \ (1) \\ z \geq 3x^2 + 3y^2 \ \ (2) \end{cases}

Nos piden calcular \iint_\Sigma f dS = \iiint_H div(f) dV - \iint_T f dS

donde T es la superficie tapa z=6 con x^2 + y^2 \leq 2 orientada hacia abajo.

Luego, como div(f) = 0+0+1 = 1, nos queda

\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\sqrt{2}} \rho d\rho \int_6^{12-3\rho^2} dz + 6 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\sqrt{2}} \rho d\rho

= 18 \pi + 12\pi = \boxed{30\pi}

En el gráfico podemos ver la superficie \Sigma (azul) junto con el plano (rojo) y la proyección (verde)

2)

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Nos dan rot(f) = (x,y,-2z) y C = \begin{cases} x^2 + y^2 = 6y \\ x^2 + y^2 + z^2 = 36 \\ z \geq 0 \end{cases}

Nos piden calcular \int_C f dC = \iint_{\Sigma} Rot(f) dS donde \Sigma es (por ejemplo) la esfera x^2 + y^2 + z^2 = 36 junto con x^2 + (y-3)^2 \leq 9.

Luego, si definimos g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 36 nos queda \nabla g = (2x, 2y, 2z) y por lo tanto

\iint_{\Sigma_{xy}} (x,y,-2z) \cdot \frac{(2x,2y,2z)}{2z} dxdy

donde z es un abuso de notación a reemplazar con la ecuación de la superficie (la esfera). Por lo tanto queda

\iint_{\Sigma_{xy}} \frac{x^2 + y^2 - 2z^2}{z} dxdy

\int_0^{\pi} d\phi \int_0^{6 \sin(\phi)} \frac{3\rho^2 - 72}{ \sqrt{36 - \rho^2} } \rho d\rho = \boxed{-144}

En el gráfico podemos ver la curva (azul) la porción de esfera que tomamos como \Sigma (en cyan). La esfera y el cilindro se ven en transparencia verde y rojo.

3)

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Nos dan H = \begin{cases} x^2 + y^2 \geq 3z^2 \ \ (1) \\ x^2 + y^2 + z^2 \leq 4 \ \ (2) \\ \textrm{1er octante} \end{cases} con densidad \delta(x,y,z) = k |z|

Nos piden la masa M = \iiint_H \delta dV

De (1) y (2) la curva intersección es \begin{cases} x^2 + y^2 = 3z^2 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 4 \end{cases}, por lo tanto 3z^2 = 4-z^2, es decir 4z^2 = 4 por ser 1º octante resulta z=1 con x^2 + y^2 = 3

En cilíndricas

M = k \int_0^{\pi/2} d\phi \int_0^{\sqrt{3}} \rho d\rho \int_0^{\rho/\sqrt{3}} z dz + k \int_0^{\pi/2} d\phi \int_{\sqrt{3}}^2 \rho d\rho \int_0^{\sqrt{4 - \rho^2}} z dz

M = k \frac{3}{16} \pi + k \frac{\pi}{16} = \boxed{k \frac{\pi}{4}}

En esféricas, observando que en el plano yz se produce una recta y = \sqrt{3}z se tiene que \beta = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} y por lo tanto

M = k \int_0^{\pi/2} d\alpha \int_{\pi/3}^{\pi/2} \sin(\beta) \cos(\beta) d\beta \int_0^2 \rho^3 d\rho = \boxed{k \frac{\pi}{4}}

donde se tuvo en cuenta el jacobiano \rho^2 \sin(\beta) y la densidad de masa transformada k \rho \cos(\beta).

En los gráficos vemos distintas perspectivas de la misma región M. Notar que cambia el techo del semicono (verde) por la semiesfera (azul).

4a)

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En este enunciado había que corregir donde dice superficie de nivel “7” en realidad va superficie de nivel “0”.

Nos dan f(x,y,z) = (2x, 2y, 2z-4), U es la función potencial de f tal que U(1,2,1) = 2.

La superficie es \Sigma = \begin{cases} C_0(U) \\ y \geq x \\ z \leq 2 \\ \textrm{1er octante} \end{cases}

Buscamos la función potencial y nos queda U(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z + C luego como U(1,2,1) = 1 + 4 + 1 - 4 + C = 2 se tiene que C = 0 por lo que U(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z.

Por lo tanto la superficie es \Sigma = \begin{cases} x^2 + y^2 + (z-2)^2 = 4 \\ y \geq x \\ z \leq 2 \\ \textrm{1er octante} \end{cases}

Nos piden el área de \Sigma, y como

\nabla U = (2x, 2y, 2z-4)
|| \nabla U || = \sqrt{4x^2 + 4y^2 + (2z-4)^2} = \sqrt{4(x^2 + y^2) + 4(z-2)^2} = 2 \sqrt{x^2 + y^2 + (z-2)^2} = 2 \sqrt{4} = 4

y además

|U'_z| = |2z-4| = |2(2-\sqrt{4-\rho^2}) - 4| = 2 \sqrt{4-\rho^2}

se tiene que

A = \iint_\Sigma dS = \int_{\pi/4}^{\pi/2} d\phi \int_0^2 \frac{4 \rho}{2 \sqrt{4-\rho^2}} d\rho = \boxed{\pi}

En el gráfico se ve la superficie \Sigma (azul), y su proyección sobre el plano xy (rojo).

4b)

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Nos dan f(x,y,z) = (-2y, 2x, z) y la superficie \Sigma = \begin{cases} x^2 + y^2 = 6y \ \ (1) \\ x^2 + y^2 + z^2 \leq 9 \ \ (2) \\ \textrm{1er octante} \end{cases}.

Nos piden el flujo de f sobre \Sigma. De (1) y (2) sacamos \begin{cases} x^2 + y^2 = 6y \\ x^2 + y^2 + z^2 = 9 \end{cases} eliminando x obtenemos 6y - y^2 = 9 - y^2 - z^2 luego z^2 + 6y = 9 luego la proyección en el plano yz es la región del 1er cuadrante con y \leq \frac{3}{2} - \frac{z^2}{6}

Defino g(x,y,z) = x^2 + y^2 - 6y, luego \nabla g = (2x, 2y - 6, 0), y el flujo pedido orientado hacia x^+ es

\int_0^3 dz \int_0^{\frac{3}{2} - \frac{z^2}{6}} (-2y, 2x, z) \cdot \frac{(2x, 2y-6,0)}{2x} dy

donde x es un abuso de notación a reemplazar con la superficie de ecuación (1), por lo tanto nos queda

\int_0^3 dz \int_0^{\frac{3}{2} - \frac{z^2}{6}} \frac{-4xy + 4xy - 12x}{2x} dy

\int_0^3 dz \int_0^{\frac{3}{2} - \frac{z^2}{6}} -6 dy = \boxed{108}

En el gráfico se la sección de esfera (verde) y del cilindro (cyan) como transparencias. También se la superficie \Sigma (azul, salió un poco verde por la esfera) y la proyección sobre el plano yz (rojo).

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8 comentarios el “2º Parcial 12/07/2014 (Amed)

  1. Santiago dice:

    Una pregunta Damián.

    En el ejercicio 2. Yo entre en duda de a que superficie hacerle el gradiente. No me termina de cerrar del todo…porque hay que usar la ecuación de la esfera y no la del cilindro? La del cilindro entonces la usarías para ver el recinto proyección y así sacar los limites de integración?

  2. camila dice:

    Hola Damian , tengo una consulta sobre el punto dos , no entiedo porque pones que es un abuso de notacion reemplazar con la sup de ec .Por otro lado en el punto tres no se como darme cuenta que exite una recta y =raiz de tres z.
    Desde ya muchas Gracias
    Camila

    • Pepito dice:

      En el 3, pensá en el cono 3Z^2 = X^2 + Y^2, cuando X = 0, queda el plano YZ
      3Z^2 = Y^2 —> A ambos le aplicamos raíz —-> (raiz de 3) Z = Y. dps queda lo de tg a = raiz de 3… bla bla bla

      En el punto 2 el abuso de notación es que en la integral doble de X e Y, escribió Z, debe reemplazarla porque está mal así, es un cálculo auxiliar si se quiere ver… pero de principio (sin abuso) tenes que poner en vez de z, lo que obtenés de la esfera.

  3. Hola Damian,
    En el ejercicio 4b, no entiendo porque al integrar dividis por 2x

    • dami dice:

      Hola Pablo,
      Como proyecto la superficie sobre el plano yz, el producto escalar se hace contra \frac{\nabla g}{ g'_x }. Por eso divido por g'_x = 2x.
      Fijate la teoría de integral de superficie en mi apunte.
      Saludos,
      Damián.

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