Pongo los resultados:
T1) La integral quedaba
T2) Quedaba
o sea que
y la mínima derivada direccional es
E1) La SP de la EDO quedaba , los puntos y , la función potencial , y la circulación:
.
E2) El flujo (salía directo, no convenía diverencia porque la superficie es cerrada y es más difícil andar sacando la tapa) daba
Agrego parte de la resolución:
Parametrizando la superficie como
calculamos el vector normal
la integral queda entonces
(verifica con el wolfram alpha)
E3) Salía con coordenadas cilíndricas (con esféricas es más difícil de lo que parece porque el radio no queda constante, a lo mejor con alguna variante estilo coordenadas «elipsoidales» también sale fácil). La integral quedaba
El resultado es
(verifica con el wolfram alpha)
En la siguiente imagen se ve la parte del elipsoide en rojo (el «techo»), la parte del cono en azul (el «piso»), y grafiqué también una parte de como seguiría el elipsoide en verde.
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="blue",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),u, u,0,2, v,0,2*%pi),
color="red",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v), sqrt(6-u^2/2), u,0,2, v,0,2*%pi),
color="green",
parametric_surface(sqrt(12)*cos(v)*sin(w), sqrt(12)*sin(v)*sin(w), sqrt(6)*cos(w), v,0,2*%pi*0.75, w,0,%pi/2)
);
E4) La curva queda parametrizada como , el plano queda y el área pedida
Agrego parte de la resolución:
Voy a usar el método de integrar superficies usando una función definida en forma implícita (y proyectando en el plano ), aunque también se puede hacer parametrizando.
Defino entonces
, y
el normal buscado (con la norma del diferencial de área) es
y su norma es
entonces la integral queda
Hola yo rendi ayer y el Flujo me dio 8/5 y lo tenia bien el ejercicio.
Hola Javi,
Cuando plantean bien la integral aunque no lleguen al resultado correcto se considera bien el ejercicio, ahí agregué parte de la resolución. (falta solo la parte de deducir que )
Te dió justo 9 veces menos de lo esperado, suena a error de cuentas.
Saludos,
Damián.
me fue mal por poquitisimo!! espero sacarlo en septiembre! igual me parecio mas facil el de la fecha enterior!
Hola Mariel,
Me da pena que te haya ido mal 😦
Igual si fué por poco entonces estudiando bien seguro que en septiembre la aprobás.
Y sí, las dos fechas anteriores fueron un poco más fácil que esta.
Suerte!
Damian:ayer me saque un 6 en el final y queria agradecerte por la ayuda durante este periodo, tanto en las clases de la profesora Campillo, como las que brindas en la pagina (de paso aprovecho a felicitarte por ella).
Saludos!!!
Hola Guido,
Felicitaciones a vos por aprobar el final!
Me alegro que te hayan servido las clases y el blog, y gracias por el comentario.
Suerte!
En el 1 llegué a lo de -x<=y<=x y x<=4 y lo dejé ahí y seguí con otro porque no sabía que ya tenía todo xDD, el T2 lo hice bien, el E1 y E4 creo que también, y E2 y E3 me suena que me había quedado así la integral pero después tuve algún error resolviendolo porque me quedaban resultados feos. Igual ya está, la aprobé, gracias por la ayuda 🙂
Hola Daniela,
Me alegro que aprobastes. Suerte! 😉
Damián.
Revisando los ejercicios llego a entenderlos, pero en el E4 debo estar calculando mal el area ya que no me da ese resultado. Agradecria si alguien podria agregar algun paso mas sobre la integral que propone para el calculo del area. Muchas gracias
Hola Fernando,
Ahí agregué mas detalle de como se puede calcular esa área.
Suerte,
Damián.
Hola, te hago una consulta en el ejercicio con la ecuación diferencial y»+y’=2x con la condición de que la recta tangente a esa curva integral es y=1-2x sería correcto hacer y’=-2, reemplazar en la ecuación diferencial y resolver simplemente y’=2x-2 ??
Es posible o estaría mal el planteo ??
Otra consulta, como se determina la orientación de la normal cuando parametrizas la superficie, sin hacer el dibujo, o sea analíticamente?, No sé si se entendió mi pregunta
Espero me puedas ayudar
Hola Sergio,
La EDO no estaría bien planteada porque la recta tangente vale sólo para el punto .
La orientación de la superficie te explico con un ejemplo, si la superficie fuera el plano , y si la parametrización es con entonces para saber a donde apunta el normal calculás
es decir que la parametrización corresponde a tomar el vector normal «hacia arriba» (con el versor )
Saludos,
Damián.
Hola gracias por la respuesta, interprete que como la recta y=1-x es tangente a la curva integral en el punto A entonces podia imponer que en ese punto justamante la recta toca a a la curva por eso decia que y’=-2 implicaba la resolución de y’=2x-2 con dicha resolución hallaba el punto B, Ahora no se si es casualidad porque cuando realizo la resolución de la ecuación diferencial obtengo y’=2x-2 ¿porque pasa esto?
Por lo de la parametrización con ese ejemplo lo visualizo perfectamente pero en un ejemplo como este
Usando el reotacional tengo que calcular del flujo de
F=(3y,-xz,-yz^2) a travez de la superficie [tex]2z=x^2+y^2[/tex]
tomando g(r,t)=(rcos t, rsen t, r^2/2)
hacieno g’u x g’v=(-r^2cos t, -r^2sen t, t) rE(0,2) tE(0,2\pi)
haciendo las cuentas respectivas obtengo el valor de -20\pi
sin embargo el resultado es 20\pi o sea que es por un tema de orientación en la normal, pense que estaba bien orientada, como la tercer componente del producto vectorial es positiva ….. pero estaba equivocado, en un caso como este como determinas la orientación que debe llevar la normal ???
gracias por tu tiempo
PD: no se como hacer que mis ecuaciónes esten mas prolijas intente pegar las imagenes editadas con latex sin exito 😦
Hola Sergio,
No entiendo del todo tu pregunta sobre la EDO, copio un fragmento de tu comentario anterior:
«en el ejercicio con la ecuación diferencial y”+y’=2x con la condición de que la recta tangente a esa curva integral es y=1-2x sería correcto hacer y’=-2, reemplazar en la ecuación diferencial y resolver simplemente y’=2x-2 ??»
Es importante observar que no significa lo mismo (que es correcto), que (que implicaría que ) (por eso no entiendo del todo como llegás a ) no es válido reemplazar donde dice en la EDO, porque no son la misma cosa (la función ya está evaluada en ) Ojo, porque a veces haciendo pasos inválidos llegás al resultado correcto igual, a lo mejor de casualidad. Si no es eso lo que querías hacer detallame paso a paso que reemplazo hicistes.
Respecto del ejercicio de flujo, si no te pide una orientación en particular, y el resultado dice pero a vos te dió , lo más probable es que lo hayas hecho bien, sólo que lo orientastes para el lado contrario (no hay una orientación «correcta» y otra «incorrecta», a no ser que pida explícitamente cual quiere). Si está bien calculado tu vector normal,orientastes con el normal «hacia arriba», pues el tercer componente del vector nunca es negativo.
Para que las fórmulas te salgan bién con el , tenés que abrir el comando con $latex y cerrar con $, por ejemplo $latex f(x) = e^x $ para renderizar
Suerte!
Muchas gracias por tu explicación, sobre la ecuación diferencial ya no tengo dudas, lo que detallas en tu respuesta era lo que yo pensaba.
Respecto a la orientación , tengo lo siguiente en los apuntes de la facu sobre el teorema del rotor
«el sentido de circulacion de la curva C esta inducido por el sentido de orientación de la superficie S a travez de la regla de la mano derecha»
También para la divergencia se usa una normal saliente a la superficie por eso la duda de la orientación del vector normal
O sea por lo que entendi de la explicación se toma la normal saliente o sea con orientación positiva, es asi? o entendi todo mal.
Por otro lado revisando algunas paginas en inet, observe que para determinar la orientación positiva toman un punto perteneciente a la superficie y lo evaluan en el vector resultado del producto vectorial de la parametrización, y mucho no estoy entendiendo esa parte, Por ejemplo en este otro ejercicio
calcular el flujo de a travez de la superfice con
Calculo el flujo de manera directa
a) tomo
b) pero si tomo
siendo la respuesta la primera, no hay ningun dato mas acerca de la orientacion que deba llevar la normal, y como me doy cuenta en los pasos previos que la normal de la parametrización esta orientada en sentido positivo??
gracias por tu ayuda
Hola Sergio,
Te estás haciendo lío con las orientaciones.
Si la superficie es abierta (como es el caso en tu ejemplo) no existe orientación «saliente», ni «positiva». Simplemente orientás hacia un lado u hacia el otro (por eso piden que grafiquen la dirección de la normal en los finales).
Por otro lado siempre se cumple que
(con lo cual te queda el normal apuntando para el otro lado). Pero en la integral de superficie por definición siempre calculamos , y no al revés.
(Una observación, creo que en la parametrización de tu ejemplo quisistes poner )
Y lo que decís de los teoremas está bien; para el rotor debe cumplirse la regla de la mano derecha entre la orientación de la curva y la de la superficie, y para la divergencia siempre debe ser «saliente» o «positiva» (son superficies cerradas).
Espero que te haya aclarado algunas dudas, es probable que por unos días no tenga mucho acceso a internet así que demore más en contestar. Te recomiendo practiques algunos ejercicios de flujo y de divergencia, (y ya que está de rotor) por ejemplo de la selección de ejercicios de finales
Suerte!
Damián.
muchas gracias por tu ayuda, la parametrización que sugerís era la que yo puse fue un error de transcripcion :P, tu explicación sobre la orientación de la normal me aclaro un poco mas el panorama, 😀 con un poco mas de práctica conseguire entenderlo mejor , gracias por el enlace a los finales esta muy bueno, aparte tiene las respuetas :), practicaré más el téma de la orientación de las superficies.
No me presente a este final porque pensé que no estaba preparado, pero cuando lo pude obtener y lo resolví, y compare las respuestas mias con las tuyas, en lo unico que me equivoque fueron en las cuentas con las integrales, pero en todas tenia bien los límites de integracion, me quise matar cuando ví que en estes final los ejercicios eran más fáciles que los de la guía 😦 😦 😦 :(, gracias por tus respuestas y tu predisposición
saludos
Buenas. Te hago una consulta sobre el ejercicio de volumen que lo hice mal en el final por considerar cualquier cosa. El parámetro rho, ¿no varía desde 0 a [tex]sqrt(6)[/tex]? Porque sino me estoy equivocando en algo. Me da sensiblemente mayor el volumen, pero es la única diferencia que encuentro con respecto a la resolución. El resto, perfectamente explicado, muchas gracias.
Hola alexis, no es como decis
1) fijate que si tomamos coordenadas cilindricas
$ latexg(r,\theta z)=(r\cos\theta,r\sen\theta,z) $
2) reemplazamos estas coordenadas primero en la esfera y despues en el cono obtenemos que
y de aca obtenes que
espero te sirva
me salio mal las formulas y no se como editar o borrar el mensaje para corregir disculpas es
saludos
Perfecto, reemplacé mal. Ahí está, después me dieron todos. Muchas gracias.
Consulta: Como llegan al limite de integracion 0 a 4 del T1?…
Hola leo, solo es usar la teoria sabemos que si el cambio esta en coordenadas polares
de los limites propuestos deducimos que
usando que
obtenemos que
saludos
Hola! en el punto 4 , no entiendo de donde sale el plano ??
Hola Mariel,
Es el plano normal a una curva . Primero parametrizá la curva así te va a ser fácil calcular el vector tangente a la curva que va a ser el normal del plano, me explico? Sabés como parametrizar la curva ?
no no, evidentemente no entiendo este ejercicio!
Hola mariel, creo que lo que dami quiere decir es: sabemos que la proyeccion sobre el plano xy es
y ademas
tomando como referencia estos datos podemos encontrar la curva parametrizada en el espacio que es de la forma
la tercer componente de la parametrización la obtenemos evaluando la proyección en la superficie sigma, para obtener el parametreo t simplemente haces
con lo cual obtenés y haciendo obtenes el plano normal buscado
Para el cálculo del área simplemente usas la definición
o como te lo hayan enseñado en la cursada .
saludos
Muy bien Sergio, te edité algún tag de latex que no parseaba nada más.
el punto P no es (2,1,2) ?
muchas gracias!! ahora lo entendi!
disculpa no se como responder a un comentario ya posteado, lo copio del anterior (sergio),
C(t)=(2t,t^2,2t^3)
la tercer componente de la parametrización la obtenemos evaluando la proyección en la superficie sigma, para obtener el parametreo t simplemente haces
C(t)= P con lo cual obtenés P(2,1,1) y t=1 haciendo C'(1) obtenes el plano normal buscado
\pi_0: x+y+3z-9=0
el punto P no es (2,1,2) ?
saludos.
Hola Javi,
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Hola javi, si es asi como decis, tuve un error de tipeo cuando transcribi la respuesta 😉
saludos
Damian, como estas? Como resolves el E1? La parte de la EDO, la obtenes como? Porque es de grado 2, yo resolvi pero me quedo dependiendo de e^x (viniendo de C1.e^r1x + C2.e^r2x) y veo que a ustedes les da otra cosa nada que ver.. no entiendo… gracias de antemano! La gente de este blog es genial, me ayudan mucho para prepararme para septiembre…
Hola, Juan Manuel , una manera que a mi se me ocurrió es tratarla
como una lineal de primer orden, llamando
con lo que la ecuación diferencial se transforma en
si hacemos nos lleva a resolver
haciendo los cálculos obtenes que
de los datos del ejercicio obtenes que
A=(0,1) y además reemplazando en la ecuación
diferencial obtenes que integrando nuevamente
obtenes de donde
finalmente
saludos
Pd yo tambien estoy preparandola para septiembre
Dami, ¿ cómo puedo editar mis mensajes enviados cuando tengo errores ?? por ejemplo y otra formula que no se ve bien es
Hola Sergio,
Por como están las cosas no hay forma de que puedas editar diréctamente un comentario una vez que ya lo enviastes. (Así funciona wordpress, al menos por ahora).
Si es un error de parseo de latex como por ejemplo si te olvidás de cerrar el tag, usualmente me tomo la libertad de editarlo y corregirlo.
Como me aclarastes que me tomé la libertad de corregir eso también en tu comentario (antes decía )
Lo que se hace en este blog habitualmente es, cuando te equivocás, copiá tu comentario, corregilo, y publicalo como otro comentario, entonces por lo general me doy cuenta de que pasó, y borro los comentarios anteriores que quedaron duplicados y con el error, me explico?
En resumen, no te hagás demasiado problema si algo no salió bien en un comentario, mandalo de nuevo corregido.
Saludos,
Damián.
PD: Muy bien resuelto tu ejercicio de la ec. diferencial.
Gracias dami 😉 muy bueno tu blog 😀
saludos
Sergio muchisimas gracias por tu respuesta, me despejaste la duda, de todos modos yo la encaré como EDO orden 2 , no homogenea y no me salio ni de casualidad… me entró esa duda? Si bien se resuelve bien como la hiciste vos, se puede usar como orden 1 asi nomas? Sabes bien ese tema?
Te agradezco nuevamente y si rendis en septiembre y podes juntarte a estudiar estaria bueno si queres armar un grupo de estudio o algo, queda una semana pero bueno, yo vengo desde el 3 de agosto dandole duro…fijate y contactame si queres, abrazo, JM! mi mail es juanmanuelcolado@gmail.com
Hola Juan,
La ec. dif es , es de 2do orden, lineal, y a coeficientes constantes, por lo tanto también se puede resolver usando el método de las lineales de 2do orden no homogéneas.
La ec. característica te queda
de donde la SG de la homogénea asociada es
Busquemos una SP
reemplazando
igualando término a término (de los polinomios)
de donde
por lo tanto una SP es
(tomás cualquier valor para , yo tomé cero).
Por lo tanto la SG de la EDO original es
Por las condiciones iniciales sabemos que
derivando la SG
de donde
va quedando
y como
finalmente obtuvimos la solución particular buscada
Saludos,
Damián.
Hola juan manuel 😉 ahi te mande un mensaje al correo que me pasaste por el tema del grupo de estudio, 😉
saludos
Damian, muchas gracias por añadir a tu respuesta, pregunto dos cosas:
1)Se puede hacer entonces de los dos modos? Como dijo Sergio y como mencionás vos?
2) Porque usas un polinomio de grado 2 para igualar cuando en la expresion figura igualada a 2 X ?. No deberias usar uno de grado 1 (que es lo que yo hice y no me daba ni de casualidad asi lo que les daba a uds)?
Espero tu respuesta, muchisimas gracias!
Hola Juan Manuel,
1) Si, cualquiera de las dos formas está bien.
2) Recordá que el método de coeficientes indeterminados es medio «al tanteo» (en inglés lo llaman «lucky guess method»)
Si la solución propuesta no funciona, a veces al multiplicarlo por se arregla (y por eso queda un polinomio de grado 2 en vez de grado 1) 😉
Suerte!
Damián.
No la tenia esa Damián, muchas gracias nuevamente por tu dedicacion, me has sido de enorme ayuda.
Sergio fijate que te respondi ya el mail por el tema del grupo de estudio (pido disculpas al resto por ensuciar con estos comentarios pero evidentemente Sergio no vio mi correo y queria hacerselo saber), saludos, Juan Manuel
Una pregunta colgada. Me quedo planteado las integrales triples en el Ejercicio E3, pero no puedo integrar cuando queda rho x la raiz de (12-rho^2)/2.
Hola Javier Perez,
Probá con una sustitución por lo que aparece adentro de la raíz.
Saludos,
Damián.
Consulta. En el punto E4, para que de el resultado esta proyectada la superficie sobre el plano yz .. Mi duda es por que tomo ese plano y no xy.. ?? Descarto el plano xy, debido a que el enunciado me indica que si proyecto en ese plano, me queda una curva y no una superficie?? Gracias