Tp.3 Ej.7.f

Analice la continuidad en el origen de los siguientes campos escalares

f) f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 - y^2} & si \ |y| \neq |x| \\ 0 & si \ |y| = |x| \end{cases}

Solución:

Primero observo que el dominio de la función es Dm(f) = \mathbb{R}^2, y que f(0,0) = 0

Veamos que pasa si me aproximo al origen por curvas de \mathbb{R}^2 tales que |y| \neq |x|, debo usar la parte de “arriba” de la definición y el límite queda como

\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0) } \frac{xy}{x^2 - y^2}

En particular veamos por rectas que pasan por el origen de la forma y=mx (con m \neq \pm 1)

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x mx}{x^2 - m^2 x^2}

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2 m}{x^2 (m^2 - 1)}

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{m}{m^2 - 1} = \frac{m}{m^2 - 1}

Alcanza con ver que si m=2 la función tiende a \frac{2}{3} \neq 0 para ver que no es contínua en el origen.

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5 comentarios en “Tp.3 Ej.7.f

  1. Hola Damian, la verdad es que este ejercicio me costo un poco porque creo que entendi mal el enunciado, es decir, si me dice que |y| \neq |x| para mi |y| \neq m.|x| no es lo mismo ? Los modulos siguen siendo iguales…

    Yo lo plantee pasando a polares.

  2. hola dami una duda respecto a este tema… si para probar la existencia de un limite doble, uno de las aproximaciones por curvas da infinito puedo concluir la no existencia del limite doble?

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