Tp.7 Ej.3

Calcule la longitud de la trayectoria de una partícula que se mueve sobre la superficie de ecuación desde el punto hasta el , si la proyección de su recorrido sobre el plano es el segmento de puntos extremos y

Solución:

Debemos parametrizar la curva, a partir de la proyección podemos calcular un plano que debe contener a la curva, primero vamos a parametrizar el segmento de recta de la proyección:

con

Ahora encontramos su ecuación cartesiana:


de la segunda ecuación:

en la primera:



por lo tanto:

es la ecuación cartesiana de un plano que contiene a la curva.
Entre este plano y la superficie parametrizamos la curva:

con

Lo cual nos indica que la trayectoria se trata de un segmento de recta.
Debemos notar que con esta parametrización estamos recorriendo la curva en el sentido contrario, es decir desde hasta , pero como lo que queremos calcular es la longitud de la trayectoria, esta no depende de la orientación.

Ahora construimos el diferencial de arco de curva:

Por lo tanto la longitud de la trayectoria es:

El siguiente gráfico muestra la superficie en color rojo, el plano que calculamos a partir de la proyección en celeste, y en azul la curva intersección, de la cual calculamos la longitud.

draw3d(
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
surface_hide = true,
color = "light-red",
parametric_surface(x,y,x^2 - 4*y^2, x,1,3,y,1,2),
color = "light-blue",
parametric_surface(5-2*v,v,u, u,-15,5,v,1,2),
color = "blue", line_width = 3,
parametric(5-2*t, t, 25-20*t, t,1,2)
);