Dada la con
.
a) Calcúlela usando coordenadas polares.
b) Trabajando en cartesianas, demuestre que su resultado es del tipo .
c) La gráfica de con
se denomina “campana de Gauss”. Demuestre que el área debajo de la campana de Gauss es igual a 1.
es la función de densidad de probabilidad normal estandarizada utilizada en múltiples aplicaciones, incluso en teoría de errores.
Solución:
a) Pasando a coordenadas polares, sin olvidar que el jacobiano de la transformación es
Queremos resolver:
Si
Retomando la integral impropia:
La gráfica del campo escalar del integrando es:
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
explicit(%e^(-x^2-y^2),x,-2,2,y,-2,2)
);
b)
c)
El área debajo de la curva vendrá dado por:
Si queremos resolver:
sustituyo
y nos queda:
Además, de los puntos a) y b) sabemos lo siguiente:
Por lo tanto:
Juntando todo nos queda:
La siguiente es la gráfica de la función “campana de Gauss”. El área entre el eje x y la curva es 1, como acabamos de mostrar.
draw2d(
xlabel = "x", ylabel = "y",
color = "blue",
explicit((1/(sqrt(2)*%pi))*%e^(-x^2),x,-3,3)
);