Tp.8 Ej.8

Dada la \iint_D e^{-x^2-y^2}dxdy con D = \mathbb{R}^2 .
a) Calcúlela usando coordenadas polares.
b) Trabajando en cartesianas, demuestre que su resultado es del tipo \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2}du \right)^2.
c) La gráfica de f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2} con z \in \mathbb{R} se denomina “campana de Gauss”. Demuestre que el área debajo de la campana de Gauss es igual a 1.
f es la función de densidad de probabilidad normal estandarizada utilizada en múltiples aplicaciones, incluso en teoría de errores.

Solución:

a) Pasando a coordenadas polares, sin olvidar que el jacobiano de la transformación es |J| = \rho

\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{+\infty} e^{-\rho^2} \rho d\rho

2\pi \int_0^{+\infty} e^{-\rho^2} \rho d\rho

Queremos resolver:
\int \rho e^{-\rho^2} d\rho

Si u = -\rho^2
du = -2\rho d\rho

\frac{-1}{2} \int e^{u} du = \frac{-1}{2}(e^u + c)
= \frac{-1}{2}e^{-\rho^2} + k

Retomando la integral impropia:
2\pi \int_0^{+\infty} e^{-\rho^2} \rho d\rho

2\pi \left[ \frac{-1}{2} e^{-\rho^2} \right]_0^{+\infty}
= 2\pi \left( 0 - (\frac{-1}{2}) \right)
= \pi

La gráfica del campo escalar del integrando es:

tp8_ej8a
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
explicit(%e^(-x^2-y^2),x,-2,2,y,-2,2)
);

b)
\int_{-\infty}^{+\infty}dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2-y^2} dy

\int_{-\infty}^{+\infty}dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} e^{-y^2} dy

\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy

= \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2}du \right)^2

c)
El área debajo de la curva vendrá dado por:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2} dz

Si queremos resolver:
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}z^2} dz

sustituyo u = \frac{1}{\sqrt{2}}z
du = \frac{1}{\sqrt{2}}dz
y nos queda:
\sqrt{2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} du

Además, de los puntos a) y b) sabemos lo siguiente:

\left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} du \right)^2 = \pi

Por lo tanto:

\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} du = \sqrt{\pi}

Juntando todo nos queda:

\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}z^2} dz
= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} du
= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\pi}
= 1

La siguiente es la gráfica de la función “campana de Gauss”. El área entre el eje x y la curva es 1, como acabamos de mostrar.

tp8_ej8b
draw2d(
xlabel = "x", ylabel = "y",
color = "blue",
explicit((1/(sqrt(2)*%pi))*%e^(-x^2),x,-3,3)
);

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