Tp.7 Ej.17

Sean f un campo de gradientes con matriz jacobiana Df(x,y) = \begin{pmatrix} 2y-6x & 2x \\ 2x & 0 \end{pmatrix}, y C una curva abierta cualquiera con puntos extremos A perteneciente al eje y, y B perteneciente a la curva de ecuación y = x - x^{-1}. Demuestre que \int_C f \cdot ds = 0, sabiendo que la gráfica de su función potencial pasa por (1,1,3) con plano tangente de ecuación z = y+2

Solución:

En principio, vamos a intentar reconstruir la función potencial de f.
A partir de la matriz jacobiana:

F''_{xx} = 2y - 6x \to F'_x = 2yx - 3x^2 + c(y)
F''_{xy} = 2x \to F'_x = 2xy + c(x)
F''_{yx} = 2x \to F'_y = x^2 + c(y)
F''_{yy} = 0 \to F'_y = c(x)

Por lo tanto:

\nabla F(x,y) = f(x,y) = (2xy - 3x^2 + c_1, x^2 + c_2)

Buscamos su función potencial:

F'_x = 2xy - 3x^2 + c_1 \to F(x,y) = x^2y - x^3 + c_1x + c(y)
F'_y = x^2 + c_2 \to F(x,y) = x^2y + c_2y + c(x)

por lo tanto:

F(x,y) = x^2y - x^3 + c_1x + c_2y + c_3

Como pasa por (1,1,3):

3 = 1 - 1 + c_1 + c_2 + c_3
c_1+c_2+c_3 = 3 (ec. 1)

Como tiene plano tangente z = y+2
F'_x = 2xy - 3x^2 + c_1
F'_x(1,1) = 2 - 3 + c_1
-1 + c_1 = 0
c_1 = 1 (ec. 2)

F'_y =  x^2 + c_2
F'_y(1,1) = 1 + c_2
1 + c_2 = 1
c_2 = 0 (ec. 3)

De las ecuaciones (ec.2) y (ec.3) en la (ec.1):
c_3 = 2

Por lo tanto la función potencial es:

F(x,y) = x^2y - x^3 + x + 2

La integral pedida es:
\int_A^B f \cdot ds = \int_A^B \nabla F \cdot ds = F(B) - F(A)

F(B) = F(x,x-\frac{1}{x}) = x^2(x-\frac{1}{x}) - x^3 + x + 2
= x^3 - x - x^3 + x + 2
= 2

F(A) = F(0,y) = 2

Por lo tanto:
F(B) - F(A) = 2 - 2 = 0

que es lo que queríamos mostrar.

Anuncios

12 comentarios en “Tp.7 Ej.17

  1. Hola:
    Estuve resolviendo el ejercicio y me surgio una duda, me gustaria poder entender esto :
    Cuando se despejan los valores de c1 y c2 de la funcion potencial , F’x y F’y evaluada en (1,1) se igualan a 0 ? o al normal del plano z= y+2 del enunciado ?
    porque en la resolucion esta:
    -1 + c1 = 0
    y
    1+c2 = 0

    espero que se entienda la pregunta
    Muchas Gracias

    • Hola Eduardo,
      Encontrastes un error, ya que la segunda ecuación tenía que estar igualada a 1 (ya lo corregí)
      Eso es así porque si el plano tangente es z = y+2 entonces sabemos que f'_x = 0 y f'_y = 1 por los coeficientes que multiplican a las variables x e y en el plano.
      Saludos,
      Damián.

  2. Hola Damián,
    Estuve resolviendo este ejercicio considerando que f’y = -1, ya que pensé que el normal al plano dado puede ser el (0,1,-1) o el (0,-1,1). De esta forma cambian los valores de las constantes, c2= 2, y c3=0, lo que modificaría la F(x,y) y el resultado final del ejercicio quedaría en función de x e y. Está mal lo que hice?
    Gracias por el tiempo

    • Hola Joaquín,
      Cuál es el resultado que te queda en función de x e y? Había que verificar que la circulación vale cero, eso te dió bien?
      De todas formas, no es el vector normal al plano lo que se precisa en este ejercicio, sinó las derivadas parciales de la función que tiene dicho plano tangente, son cosas distintas.
      Si todavía no te queda claro volvé a preguntar pero poné mas detalle de lo que hicistes (o mejor aún, toda tu resolución)
      Saludos,
      Damián.

  3. Hola dami, tengo una duda existencial sobre un caso en particular, me piden calcular la circulacion de un campo f a travez de la curva definida por la interseccion entre
    z=x-y^2

    x+y=0

    desde el punto (2,2,0) hasta (1,1,0)

    lo que hago es parametrizar la curva de la siguiente manera

    C(x)=(x,-x,x-x^2)\quad x\in[2,1]

    ahora la duda que tengo es la siguiente cuando hago

    C(2)=(2,-2,-2)

    C(1)=(1,-1,0)

    no obtengo los puntos inicial y final, ¿pero esto tiene que pasar siempre? otra observacion es que los puntos que me dan no verifican las ecuaciones de las superficies, ¿hay algo que puedo estar obviando al parametrizar la curva? a

    • Hola Sergio,
      Tiene que estar mal el enunciado. Esos puntos no pertenecen a esa curva, así que no pueden ser el punto inicial y final.
      Saludos,
      Damián.

  4. gracias dami, es de un parcial que tomo sola, y esta transcripto tal cual el enunciado del mismo, al margen, de eso, la parametrizacion que elegi, suponiento correctos los puntos, ¿esta bien?

    • Hola Sergio,
      Fijate que pusistes que el dominio es el intervalo [2,1] que es el conjunto vacío. Si el punto inicial es (1,-1,0) y el final es (2,-2,-2) entonces tu parametrización estaría bien con dominio [1,2]. Si querés en la otra orientación podés símplemente cambiar el signo de la circulación y listo.
      Saludos,
      Damián.

  5. Hola dami, tengo el siguiente enunciado

    calcule aplicando convenientemente el teorema de la divergencia, el flujo de f a travez del trozo de superficie

    x^2+y^2+z^2=4z

    con z\geq{x^2+y^2}

    siendo

    f(x,y,z)=(-y,x,z)

    por definición

    \displaystyle\iint_S fn ds+\displaystyle\iint_{S_2} fn ds=\displaystyle\iiint_V div(f)dV

    entonces se verifica

    \displaystyle\iint_S fn ds=\displaystyle\iiint_V div(f)dV-\displaystyle\iint_{S_2} fnds

    calculo el primer lado de la igualdad, utilizando la parametrización

    g: R^2\longrightarrow{R^3}/g(x,y)=(x,y,2+\sqrt{4-x^2-y^2})

    la normal es

    n=\left(\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2-y^2}},\dfrac{y}{\sqrt{4-x^2-y^2}},1\right)

    luego

    \displaystyle\iint_R \sqrt{4-x^2-y^2}+2dxdy

    tomando cordenadas polares tengo

    \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}} (\sqrt{4-r^2}+2)rdrdwdt=\dfrac{32}{3}\pi

    La divergencia del campo es div(f)=1

    tomo coordenadas esféricas sobre

    S: x^2+y^2+z^2=4z

    g(r,w,t)=(rcos wcos t,rcos w rsen t, rsen w)\quad D_g=r^2cos w

    t \in[0,2\pi]\quad w\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]

    la integral queda

    0<t<2\pi \quad 0<w<\dfrac{\pi}{2} \quad 0<r<2senw

    el resultado

    \dfrac{32}{3}\pi

    ahora le resto "la tapa" para ello defino

    S_2: x^2+y^2+z^2=4z\quad x^2+y^2=z

    de donde hechas las cuentas

    S_2:  z=3 \quad x^2+y^2=3

    defino la parametrizacion

    g:R^2\longrightarrow{R^3}/g(x,y)=(x,y,3)

    la normal es

    n=(0,0,1)

    como se debe verificar el teorema de la divergencia tomo la normal saliente a
    S_2

    n=(0,0,-1)

    finalmente, tomando coordenadas polares la integral es

    -3\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}} rdrdt=-9\pi

    claramente no se verifica el teorema de la divergencia,

    \underbrace{\displaystyle\iint_S fn ds}_{\frac{32}{3}\pi}=\underbrace{\displaystyle\iiint_V div(f)dV}_{\frac{32}{3}\pi}-\underbrace{\displaystyle\iint_{S_2} fn ds}_{-9\pi}

    no entiendo donde estoy cometiendo el error, si me podes orientar porfa

    • Hola Sergio,
      Tu integral del flujo directo la veo bien. También la integral sobre la tapa.
      Lo que no me queda claro es tu parametrización de la porción de esfera, acordate que está trasladada para arriba la esfera, pareciera que no quisistes trasladar las coordenadas lo que lo hace mas difícil. Además porqué tomas el ángulo w hasta \pi/2?, y porqué el radio desde 0?, acordate que querés lo que queda arriba del plano Yo te recomendaría que la parte de la divergencia la hagas en cilíndricas en vez de esféricas.
      Saludos,
      Damián.

  6. Hola dami, gracias por tu respuesta, tambien la hice en cilindricas los limites son

    2<z<\sqrt{4-r^2}+2

    0<r<\sqrt{3}

    0<t<2\pi

    el resultado

    \dfrac{14}{3}\pi

    la verdad no se donde esta el error 😦 ya que tampoco se verifica el teorema de la divergencia.

    puede ser que el teorema de la divergencia no se verifique ??

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s