T1)
,
Tenemos la compuesta
Por la regla de la cadena,
Usando la regla práctica de derivación:
Luego,
Luego el vector tangente es
T2) Llamamos . Como es derivable respecto a toda dirección , vale que
Luego . Tomando límite .
Como no depende de , , y por otro lado pues y .
Luego es verdadero que para todo versor .
E1)
Veamos la continuidad. . Para analizar el límite hay que usar las dos ramas de la función, por la de abajo es claro que tiende a cero, y por la de arriba es equivalente a . Luego y es contínua en el origen.
Veamos la existencia de las derivadas parciales.
Luego existen ambas derivadas parciales y valen cero.
E2) Sabemos que es la trayectoria ortogonal a que pasa por .
, es la ec. dif. de la primer familia. Cambio por .
. , luego es la familia ortogonal a la dada. Como pasa por se tiene es decir y nos queda , así que .
Reemplazo en y queda .
Es decir , que es clase por ser polinómica.
Uso el criterio de la derivada primera para buscar puntos críticos.
de la segunda
o
Reemplazo en la primera, y en definitiva quedan puntos críticos ,
Veamos que nos da el criterio del hessiano
En los puntos críticos
implica que es mínimo relativo
implica que los puntos críticos producen puntos silla.
E3) Tenemos definida implícitamente por , y además . Llamemos , y llamemos .
Nos piden calcular .
, , luego es decir
Llamemos . Tenemos que
Luego por el teorema de Cauchy Dini se tiene que
Por otro lado, o sea que
Luego , en particular .
E4)
a) Se tiene que
Luego un vector normal a la superficie es
La recta normal es de ecuación
b) La normal en cada punto al elipsoide viene dado por . Para que dicha normal sea paralela a la recta del punto a, debe cumplirse que
.
Para que sean puntos del elipsoide deben cumplir su ecuación, luego
Luego los puntos son y
hola damian! tenes las notas para subirlas? gracias! saludos