Dada con , (*), demuestre que la recta tangente a la linea de nivel de que pasa por , está dirigida por
(*) Al no indicar el punto, significa que la derivada no se anula en todo punto.
Solución:
Tenemos que es la función compuesta que resulta de componer el campo escalar
con la función escalar
Es decir tenemos una composición del tipo:
Con la cual resulta
donde
El gradiente es normal al conjunto de nivel, y como y son en los puntos interiores de su dominio, tenemos que:
Evaluado en el punto es
Voy a usar la notación para referirme a , nos va quedando
Este vector no pude nunca ser el vector nulo, ya que ya que sinó no sería un punto del dominio de , y además nos dicen que pues para todo punto, por lo tanto el segundo componente nunca es cero. (Esto nos garantiza que existe recta tangente).
Además, este vector por ser el gradiente de , es normal a la curva de nivel de que pasa por y a su recta tangente en dicho punto. Si dicha recta está dirigida por , es decir es un vector tangente a la recta, entonces deberá ser perpendicular al gradiente.
Haciendo el producto escalar entre el gradiente y el vector obtenemos
lo cual demuestra que dichos vectores son perpendiculares, y por lo tanto la recta tangente a la curva de nivel de que pasa por está dirigida por .
Una pregunta, ¿Podría resolver el ejercicio considerando que la la recta tangente tiene la direccion de la derivada direccional nula?
Gracias! Muy buena página!
Hola Emanuel,
Si, se podria. Seria muy parecido a como esta hecho. El gradiente es normal a esa dirección. podrías plantear que esa dirección sea paralela y también tiene que salir.
Muchisimas gracias Dami!