Tp.6 Ej.6

Dada h(x,y) = f(y/x) con f \in C^1, f' \neq 0 (*), demuestre que la recta tangente a la linea de nivel de h que pasa por \vec{A} = (x_0,y_0), está dirigida por \vec{A}

(*) Al no indicar el punto, significa que la derivada no se anula en todo punto.

Solución:

Tenemos que h es la función compuesta que resulta de componer el campo escalar
g(x,y) = y/x = t
con la función escalar f(t)
Es decir tenemos una composición del tipo:
(x,y) \to g \to (t) \to f \to (z)
Con la cual resulta
(x,y) \to h \to z
donde
z = h(x,y) = (f \circ g)(x,y)

El gradiente es normal al conjunto de nivel, y como f y g son C^1 en los puntos interiores de su dominio, tenemos que:

\nabla h(x,y) = f'(t) \cdot \nabla g(x,y)
= f'(t) \cdot \left( \frac{-y}{x^2}, \frac{1}{x} \right)

Evaluado en el punto \vec{A} = (x_0,y_0) es

\nabla h(x_0, y_0) = f' \left( \frac{y_0}{x_0} \right) \cdot \left( \frac{-y_0}{x_0^2}, \frac{1}{x_0} \right)

Voy a usar la notación f_0' para referirme a f'(y_0/x_0), nos va quedando

\nabla h(x_0, y_0) = \left( \frac{-f_0' y_0}{x_0^2}, \frac{f_0'}{x_0} \right)

Este vector no pude nunca ser el vector nulo, ya que x_0 \neq 0 ya que sinó no sería un punto del dominio de h, y además nos dicen que f_0' \neq 0 pues f' \neq 0 para todo punto, por lo tanto el segundo componente nunca es cero. (Esto nos garantiza que existe recta tangente).
Además, este vector por ser el gradiente de h, es normal a la curva de nivel de h que pasa por \vec{A} = (x_0, y_0) y a su recta tangente en dicho punto. Si dicha recta está dirigida por \vec{A}, es decir \vec{A} es un vector tangente a la recta, entonces deberá ser perpendicular al gradiente.
Haciendo el producto escalar entre el gradiente y el vector \vec{A} obtenemos

\nabla h(x_0, y_0) \cdot \vec{A} = \left( \frac{-f_0' y_0}{x_0^2}, \frac{f_0'}{x_0} \right) \cdot (x_0, y_0)
= \frac{-f_0' y_0}{x_0} + \frac{f_0' y_0}{x_0}
= 0

lo cual demuestra que dichos vectores son perpendiculares, y por lo tanto la recta tangente a la curva de nivel de h que pasa por \vec{A} está dirigida por \vec{A}.
\Box

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3 respuestas a Tp.6 Ej.6

  1. Emanuel dijo:

    Una pregunta, ¿Podría resolver el ejercicio considerando que la la recta tangente tiene la direccion de la derivada direccional nula?

    Gracias! Muy buena página!

    • dami dijo:

      Hola Emanuel,
      Si, se podria. Seria muy parecido a como esta hecho. El gradiente es normal a esa dirección. podrías plantear que esa dirección sea paralela y también tiene que salir.

  2. Emanuel dijo:

    Muchisimas gracias Dami!

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