Pongo los resultados:
1) a) El gradiente de la compuesta es
La recta normal es
e intersecta al plano pedido en
b) La divergencia es
El flujo saliente es
2) b)
3) La circulación es
Lo resuelvo:
Calcule la circulación de 
Sumando las dos ecuaciones
Restando las dos ecuaciones
Luego parametrizo la curva como
(está orientada al revés, pero no importa le cambio el signo a la circulación y listo)
Luego la circulación pedida es
según wolfram.
4) El volúmen es
.
Análisis Matemático II 
El ej. 3) lo hice varias veces y me da -8/3.
Probablemente sea error mío, pero si alguno lo resuelve y le da el mismo resultado, avise.
Saludos.
Y otra cosita, me agarró una duda con respecto al ej. 2) b)
Cuando se realizan las últimas integrales, siempre se toma una constante «del lado de la x», pero si se tomara la constante del otro lado, quedaría el número opuesto. En este caso, sería -5/3 en vez de 5/3.
¿Hay que tener en cuenta eso?
Saludos.
Una preguntita, en el 1)a) cómo calculaste el -1??
Hola Franco, el ej. 3) lo hice de dos manera diferentes, o sea, con dos parametrizaciones distintas y llegué al mismo resultado que vos, es decir
PD: Casi todos me dieron resultados diferentes, ahora los paso en latex y vemos donde está el error.
Saludos.
Buenísimo entonces, Fabián.
El 2) y el 4) me dan igual, pero el 3) me da [tex]54\pi[/tex]
Sobre el ej. 1) a) que preguntabas, yo tenía la misma duda y me respondieron esto en un foro de matemática, fijate si te sirve:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=41222.0
El resultado del 3) está bien, es 184pi sobre 3.
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,41238.0.html
Hola Damian, el pto 3 de este final me da -8/3. La curva parametrizada me queda (t-t^2,t,t^2) y los limites de integracion entre 2 y 1. Si podes por favor, me decis si hay algun error en como parametrize o los limites de integracion?
Gracias!!
Saludos
Andrea
Holas,
La parametrización la veo bien, lo que no me gusta es que decís que va de 2 a 1 (tenés que tener cuidado con el signo ya que debería ir de menor a mayor)
Este mes estoy muy complicado y no tengo la resolución de este ejercicio a mano, si me copiás la resolución de tu integral (vos o Franco o cualquiera de los que les dió -8/3) me fijo si lo veo bien.
Saludos,
Damián.
Coincido con Andrea y los demas, yo lo hice entre 2 y 1 como dice ella es decir
con lo siguiente
bue no encuentro como poner barrow en LAtex pero queda algo asi
$latex \oint_\C f dg= \dfrac {2}{3}-\dfrac{10}{3}\dfrac{-8}{3}
bue no salio todo peor es entre 2 y 1 no se porque me quedo 5 en el latex
Fijate los comentarios Andrea, varios lo hicimos y da -8/3. Saludos.
Hola!!!, el pto b no me da…Queria saber si hay algun error en esto que estoy haciendo: derivo xy=cx + 1 y me queda
y + xy’=c luego reemplazo y’ por -1/y’ (para hallar la ec. dif. de la flia ortogonal), integro y con el dato que pasa por (1,2) obtengo c…
¿Como aplico el dato «f es conservativo»?, se que si es conservativo entonces tiene funcion potencial pero no me doy cuenta como aplicarlo desconociendo f
Gracias!!
Saludos,
Andrea
andrea yo el b lo hice asi:
la expresion xy=cx+1 la despejo a :
y – 1/x = c –> esta seria la expresion de las curvas de nivel de la funcion potencial, osea las lineas equipotenciales.
U(x,y) = k
el campo vectorial entonces es = (U’x , U’y)
que queda: (1/x^2 , 1) …. ahora… para sacar la expresion de las lineas de campo hay que igular
y’ = Q / P (No estoy seguro de donde sale esto, la verdad, lo tengo en la carpeta) , donde Q es el segundo miembro del campo, y P el primero:
y’ = 1 / (1 / x^2 ) >> y’ = x^2 >> y = (x^3 / 3) + k
entonces ahora reemplazas por 1,2 para sacar k:
2 = 1/3 + k >>> k = 5/3…. finalmente
y = (x^3 / 3) + 5/3
en cuanto al 3… a mi tambien me da -8/3… la parametrizacion me queda:
x=-t^2+t x= -2t+1
C: y=t C’: y=1
z=t^2 z=2t
con 2<t<1
saludos.
me dio -8/3 el 3) !!
Gracias lucho! esto de y’ = Q / P no lo tenia…
Saludos!
Gente coincido con la resolucion de Lucho y agrego sacado del Flax Vol 3 pag 436
Si f en con campo vectorial se llaman lineas del campo f a las curvas incluidas en R^n cuya recta tangente en cada punto tiene la direccion de f en ese punto donde si
es la ecuacion de las lineas de campo, para cada punto de g(t) la direccion de la recta tangente dada por
debe coincidir con la direccion del vector
entonces ambos vectores, en el mismo punto tienen direcciones coincidentes, por lo tanto sus respectivas componenetes deben ser proporcionales.
luego como
$dg(t)=g'(t)dt$
queda
que es
quedando
cuya resolucion nos permite obtener las lineas de campo
otra cosa que me di cuenta es que igual sin saber todo eso sale retomo desde donde empieza Lucho
y el resultado es el mismo
saludos
alguien me puede decir como hizo el 4? porque me da 64pi y no 16pi como dicen
Stefi, tuviste en cuenta que por ser en el 1º octante si pasás a coordenadas cilíndricas el ángulo va de
y no 
?
Capaz por eso te da 4 veces de más.
Suerte,
Damián.
a mi me da 30 pi…. mmm… lo revise un par de veces puede ser que hayan tomado ustedes y>x^2 y no menor? ami los limites de integracion me quedan asi:
0 < tita < pi/2
0 < R < 4
a mi me da 30 pi…. mmm… lo revise un par de veces puede ser que hayan tomado ustedes y>x^2 y no menor? ami los limites de integracion me quedan asi:
0 < tita < pi/2
0 < R < 4
y con esto me da
lo no salio es para y entre 0 y r^2cos^tita
GENTE RESPECTO DE ESTE EJERCICIO (el 4) OMITAN LO QUE PUSE ARRIBA
esta mal, revise recien y si, me da lo mismo que a ustedes
perdon debe ser la hora,
saludos
Gente, yo realice el 1b y me da muy diferente… lo hice con coordenadas esfericas, alguno de los que le dio igual que a Dami me puede decir como lo hizo? les dejo lo que yo hice.
La interseccion me da en los Z negativos porque de la curva saco
los limites de integracion son en esfericas
latez 0<R<\sqrt{6}
Haciedno asiluego reemplazo z por
latex \sigma=9\pi$
si alguno lo hizo igual o sabe como lo hizo Dami por favor tirenme una punta asi lo resuelvo yo de esa manera,
gracias
uh bue salio re mal a ver:
limites eran
para w 3/4 pi y pi /2
para R entre 0 y raiz(6)
y tita entre 0 y 2pi
y me da
Gente, alguno que le haya dado como a Dami me dice de donde parte la inbtegral con limites de integracion?
Gracias, saludos
El ejercicio 4 me daba -16 pi, usando coordenadas cartesianas, y estaba todo aparentemente bien. Buscando distintas tablas de integrales en internet descubrí que la integral nº 247( x^2(Raíz(a^2 – x^2)) ) de la tabla de integrales de la UTN no está bien, les dejó acá la correcta ( nº 52).
Haz clic para acceder a integrales.pdf
Lo raro es cómo llegaste a usar la 247? Yo tuve que usar la 259 para cartesianas.
0<y<x^2
0<x<raiz(16-z^2)
0<z<4
Damian: la definicion del ejercicio teorico 2)a) lo vi en varios finales, pero no encuentro ningun desarrollo teorico para dicho tema. ¿Esto se refiere pura y exclusivamente a la definicion, a lo que significa S.G y S.P?¿O existe alguna hipotesis o desarrollo teorico?
Adhiero a Guido!
Mariel: ya lo encontre esto. Es la definicion de S.G y S.P. Por ej:
Solucion General: la sn gral. de una E.D es una fcion. que verifica a dicha ec y que posee constantes esenciales y arbitrarias.
Saludos!
Si yo con palabras respondia , pero pense que era algo un poco mas especifico! pero si es eso nada mas mejor!, Gracias!!
Mariel y Guido,
Las definiciones de SG, SP, y SS, están en esta parte de la wikipedia en español.
Aunque está un poco mejor y mas resumido en esta parte de la wikipedia en inglés.
Resumiendo:
Solución General: es una familia de funciones diferenciables que verifican la EDO, y tiene tantas constantes arbitrarias como el orden de la EDO.
Solución Particular: función diferenciable que verifica la EDO y se puede obtener dando valores a las constantes de la SG.
Solución Singular: es una función diferenciable que verifica la EDO pero no puede obtenerse asignando valores a las constantes de la SG. (No todas las EDO presentan SS)
En el 1.b lo hice con cilindricas? Los limites me quedaron, tita entre 0 y 2pi, p entre 0 y sqrt(6) y z entre p y 6-p^2, estan bien? O me conviene meter esfericas. Las superficies son un casquete esferico y un cono, es verdad? Gracias.
En el 1.b lo hice con cilindricas. Los limites me quedaron, tita entre 0 y 2pi, p entre 0 y sqrt(6) y z entre p y 6-p^2, estan bien? O me conviene meter esfericas. Las superficies son un casquete esferico y un cono, es verdad? Gracias.
Hola Juan Manuel, ¿de donde obtenes que
? los demas límites estan bien .
De
se deduce que 
saludos
Errata otra vez, es
se deduce que 
disculpas 😦
ahh y las superficies son un cono y un paraboloide con las ramas hacia abajo 😉
saludos
En el ejercicio 4, cuales son los limites de integracion? Yo lo hice en cilindricas pero me da otra cosa… gracias!
Hola Juan Manuel, a ver para el 4 si tomamos
tenemos que
cualquier duda ;), y me gusta la idea del grupo de estudio te mando mensaje al mail que me pasaste 😉
saludos
la fórmula que no se ve corresponde a las coordenadas cilindricas
, lastima que no se pueda previsualizar el mensaje antes de enviarlo
saludos
Sergio , fijate que en el 1.b los limites de p van de 0 a 2 como puse yo y no de 0 a 3 como mencionás vos, era un error de calculo el mio, en el desarrollo de la integral pero mis limites estaban OK, fijate sino despues lo vemos cuando nos juntemos, abrazo, JM!
Hola JM , tuve una errata en la transcripcion
saludos
en el 1b me dio http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+r%28%286-r^2%29^2-%28r^2%29%29+drdt+with+r+from+0+to+3+%2C+t+from+0+to+2pi con r perteneciente [0, 3], t (0 a 2pi) si se ve la proyeccion al plano xy de la intercepcion de las superfices es una circuferencia de radio 3.
con z son las superfices de abajo con el cono y arriba con el paraboloide, hice cambio de variable y le agrege el jacobiano r…pero me dio algo diferente 81/2 pi
Alex,
(que te olvidás), además en ese caso tenés mal el techo (va con raíz cuadrada y no al cuadrado), y además si sacás la intersección de las superficies ves que el radio va hasta 2 y no hasta 3.
Copio la integral que aparece en el wolframalpha:
Hay varios errores. Primero no se porqué haces una integral doble (tenés que integrar sobre el cuerpo, así que tenés que hacer una integral triple. De todas formas parece que queres integrar el cuerpo haciendo «techo menos piso», eso funcionaría para un volúmen, pero en este caso el integrando es
Disculpa si era una circuferencia de radio 2 http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+r%28%286-r^2%29^2-%28r^2%29%29+drdt+with+r+from+0+to+2+%2C+t+from+0+to+2pi ahora si me da, claro hice techo piso tuve en cuenta 2Z, y luego hice cambio de variable por eso la integral doble, solo que la intecepcion de las superficies la calcule mal..gracias.
Hola disculpen, podrian explicar como dedujeron que el p esta entre 0 y 2? como sacaron la interseccion? gracias!
Por consigna tenes:
Igualando los dos miembros te queda:
En cilíndricas
finalmente 
Entonces, reemplazando:
Resolviendo la ecuacion de segundo grado te queda que
como
Como dijeron arriba, el 3 a mi tambien me da -8/3
Hola Mariano,
Tienen razón, ahí lo resolví y lo corregí, ni me acuerdo porqué me daba -13/6.
Saludos,
Damián.
Hola, en el 1.a puede ser que la x del punto intersección sea -5/3??
Damian, el punto 2 a) , aparte de la teoria de SG y SP, tiene una desmostracion. Me dirias una punta para encargarlo. Gracias
Hola, yo lo que hice es que como son SP, satisfacen la EDO, entonces reemplacé y1 e y2 en la ecuación a comprobar.
Luego sumé ambas ecuaciones y las agrupé quedando
a(y»1+y»2) +b(y’1+y’2)+c(y1+y2)=2f(x)
Como y=y1+y2
derivando y’=y’1+y’2
y derivando otra vez y»=y»1+y»2
Luego reemplazás en a(y»1+y»2) +b(y’1+y’2)+c(y1+y2)=2f(x)
y queda ay» +by’+cy=2f(x)
Por otro lado como y es SP, satisface la EDO y queda ay» +by’+cy=2f(x)
que es a lo que querías llegar.
Si tenés el FLAX, fijate que en vol 3 hay algo muy parecido.
Espero te sirva!