Selección de ejercicios (de los Finales v2.0)

Esta es una continuación de la selección de ejercicios de finales, con algunos finales mas nuevos.

TP01 – Ecuaciones Diferenciales 1º Parte

Final 30/07/2013
T2) Defina solución general (SG) y solución particular (SP) de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n. Siendo y = C_1 + C_2 e^{2x} la SG, halle la EDO y la SP que en (0,y_0) tiene recta tengente de ecuación y = 6x+2.

Rta: y'' = 2y'. La SP es y = -1 + 3 e^{2x}

Final 17/12/2012
T1) Defina solución general (SG) y solución particular (SP) de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n. Sabiendo que y = C_1 e^{2x} + C_2 + x es la SG de una EDO, halle la expresión de dicha ecuación diferencial.

Rta: y'' - 2y' = -2


TP03 – Límite y Continuidad

Final 10/12/2012
T1) Defina continuidad de un campo f en un punto A. Dado f(x,y) = \frac{xy + \sin(xy)}{x^2 + y^2} para (x,y) \neq (0,0), analice si puede definirse f(0,0) de manera que f resulte contínuo en (0,0).

Rta: No se puede porque no existe el límite.


TP05 – Diferenciabilidad

Final 24/07/2012
T2) Defina derivada direccional f'(A,r) e indique su fórmula de cálculo para los casos que f es escalar y diferenciable en A. Siendo f'(A, \hat{r}) = 2uv+3v para todo \hat{r} = (u,v) \in \mathbb{R}^2, calcule \nabla f(A) y analice si f es diferenciable en A.

Rta: \nabla f(A) = (0,3), y f no es diferenciable en A.

Final 12/12/2011
T1) Defina derivada direccional y derivadas parciales de un campo f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}.
Dado el versor r = (u,v) y el punto A = (2,1), el campo f diferenciable tiene derivada direccional f'(A,r) = 3u+2v; analice si la recta normal a la superficie de ecuación z = f(x,y) en (2,1,z_0) tiene algún punto en común con el eje z.

Rta: La recta puede parametrizarse como
r(t) = (2+3t, 1+2t, z_0 - t)
y no intersecta al eje z.

Superficie regular

Final 17/12/2012
T2) Defina punto regular de una superficie. Dada la superficie \Sigma de ecuación X = (u^2 v, v^2 u, u+v) con (u,v) \in \mathbb{R}^2, analice si A = (4,2,3) es un punto regular de \Sigma.

Rta: El punto es regular.


TP06 – Funciones Compuestas e Implícitas

Compuesta con implícita

Final 21/05/2013
E1) Dada w = xu^2 con u = f(x,y) definida implícitamente por xu + \ln(2u-y) - 2 = 0 en un entorno del punto (x_0,y_0) = (1,3), resulta w = h(x,y); calcule aproximádamente h(0.98, 3.01)

Rta: 3.986666 \ldots


TP12 – Polinomio de Taylor y Extremos

Extremos

Final 17/12/2012
E4) Analice la existencia de extremos locales de f(x,y), clasifíquelos y calcule su valor, si f(x,y) = x^2 y - x^2 + \frac{1}{2}y^2 - 5y.

Rta: f(0,5) mínimo relativo, (2,1,f(2,1)) y (-2,1,f(-2,1)) puntos silla.

Final 30/07/2013
E2) Siendo \Sigma la superficie de ecuación X = (u-v, v, u^2 + v^2 + 3) con (u,v) \in \mathbb{R}^2, halle la ecuación cartesiana de \Sigma del tipo z = f(x,y) y analice si f produce extremos locales; en caso afirmativo clasifíquelos y calcule su valor.

Rta: f(0,0) = 3 mínimo relativo.


TP07 – Integral de Línea y Función Potencial

Circulación

Final 21/05/2013
E2) Siendo f(x,y,z) = (x+y,y,9-z), calcule la circulación de f desde A = (0,0,9) hasta B = (2,0,9) a lo largo de la curva C definida por la intersección de las superficies de ecuaciones: x^2 + y^2 = 2x, z = 9 - y^2, en el 1º octante.

Rta: 2 + \frac{\pi}{2} (es una integral larga)

Función potencial

Final 03/12/2012
T1) Defina función potencial. Analice si f(x,y) = \left( \frac{-y}{x^2 + 4y^2}, \frac{x}{x^2 + 4y^2} \right) admite función potencial en \mathbb{R}^2 - \{ 0 \}.

Rta: No admite función potencial.

Final 21/05/2013
E4) Sabiendo que f \in C^1 con f(x,y) = (2y g(x), x g(x)), halle la expresión de g de manera que f admita función potencial y resulte f(1,2) = (8,2)

Rta: g(x) = 2x

Final 19/12/2011
E4) La superficie \Sigma de ecuación z = f(x,y) con f(x,y) = 2x^3 + x^2 + xy^2 - 4x tiene dos puntos A, B donde los correspondientes valores de f son máximo y mínimo local respectivamente. Si se define el campo h(x,y,z) = 8z + f(x,y), calcule la circulación de \nabla h desde A hasta B.

Rta: - \frac{125}{3}


TP08 – Integrales Múltiples

Polares

Final 30/07/2013
T1) Enuncie el teorema de cambio de variables en integrales dobles. Dada \iint_D f(x,y) dxdy donde D queda definida por x^2 + y^2 \leq 9, -x \leq y \leq x, exprese la integral en coordenadas polares (indique el planteo completo pasado a polares, incluyendo los correspondientes límites de integración).

Rta: \int_{-\pi/4}^{\pi/4} d\phi \int_0^3 f(\rho \cos(\phi), \rho \sin(\phi)) \rho d\rho

Final 06/08/2013
E2) Calcule la masa de la chapa plana D definida por: 2 \leq x^2 + y^2 \leq 2x, si su densidad superficial en cada punto es inversamente proporcional a la distancia desde el punto al origen de coordenadas.

Rta: K \sqrt{2} \left[ 2 - \frac{\pi}{2} \right]

Volúmen

Final 10/12/2012
E4) Calcule el volumen del cuerpo definido por: z \leq 4-x-y, 2x+y \geq 4, 1º octante.

Rta: \frac{8}{3}

Final 06/08/2013
E4) Calcule el volumen del cuerpo definido por: x+z \leq 4, y \geq x, y \leq 6, 1º octante.

Rta: \frac{112}{3}

Final 03/12/2012
E1) Calcule el volumen del cuerpo definido por 0 \leq y \leq 1-x^2, z \geq x, x + z \leq 2.

Rta: \frac{8}{3}

Final 17/12/2012
E1) Calcule el volumen del cuerpo definido por: 3x^2 + z \leq 12, x^2 + z \geq 4, x \leq y \leq 4 en el 1º octante.

Rta: \frac{104}{3}

Final 21/05/2013
E3) Calcule el volumen del cuerpo definido por: z \geq \sqrt{x^2 + y^2}, z + x^2 + y^2 \geq 2.

Rta: \frac{5}{6} \pi

Masa

Final 30/07/2013
E3) Calcule la masa del cuerpo definido por: x^2 \leq z \leq 8 - x^2 - 2y^2, sabiendo que la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z.

Rta: M = \frac{256}{15} k \pi


TP09 – Integrales de Superficie y Flujo

Final 31/07/2012
E3) Calcule el área del trozo de superficie de ecuación z = 1 + \sqrt{x^2 + y^2} con 2 \leq z \leq 5.

Rta: 15 \sqrt{2} \pi

Final 12/12/2011
E1) La ecuación xz + e^{z-2y} - 7 = 0 define implícitamente a la superficie \Sigma en un entorno de A = (3,1,z_0), siendo \pi_0 el plano tangente a \Sigma en A, calcule el área del trozo \pi_0 en el 1º octante con y \leq 5.

Rta: \sqrt{6} \frac{85}{4}

Flujo

Final 30/07/2013
E4) Siendo f(x,y,z) = (x, yz, 2x^2 - z), calcule el flujo de f a través de la superficie abierta de ecuación z = 4-x^2 con 0 \leq y \leq x, z \geq 0; indique gráficamente cómo ha decidido orientar la superficie.

Rta: 12 orientado hacia z^+


TP10 – Teoremas integrales (Green, Stokes, Gauss)

Green

Final 10/12/2012
E2) Dado f(x,y) = (xy, x^2 + h(y)) con f \in C^1, calcule la circulación de f a lo largo de la curva frontera de la región plana D definida por x^2 + y^2 \leq 9, -x \leq y \leq x; indique gráficamente con qué orientación recorre la curva.

Rta: 9 \sqrt{2} con orientación antihoraria.

Final 30/07/2013
E1) Dado el campo vectorial f \in C^1, tal que f(x,y) = (y + g(x), x^2 + x + 2 + g(y)), calcule la circulación de f a lo largo de la curva frontera de la región plana definida por x^2 + 4y^2 \leq 4; indique gráficamente el sentido que ha elegido para recorrer la curva.

Rta: La circulación pedida da cero.

Final 12/12/2011
E4) Dado f \in C^1 tal que f(x,y) = (g(y-x) - y^2, xy - g(y-x)), calcule la circulación en sentido positivo de f a lo largo de la frontera de la región definida por: y \geq |x|, x^2 + y^2 \leq 2y

Rta: \frac{3}{2}\pi + 4

Rotor

Final 03/12/2012
E3) Sabiendo que rot \ f(x,y,z) = (x, 1-3y, 2z), calcule la circulación de f a lo largo de la curva intersección de z = x^2 + y^2 con z = 2x. Indique gráficamente con qué orientación realiza la circulación.

Rta: 2\pi (es un poco larga la integral)

Divergencia

Final 31/07/2012
E4) Siendo f \in C^1 tal que f(x,y,z) = (2xz g(y), yz + g(z), x - z^2 g(y)), calcule el flujo de f a través de la superficie \Sigma frontera del cuerpo H definido por: x^2 + z^2 \leq 4, z \leq y \leq z+2, z \geq 0; indique gráficamente cómo orientó a \Sigma.

Rta: \frac{32}{3}

Final 19/12/2011
E2) Sabiendo que f \in C^1 está definido por f(x,y,z) = (z g(x-yz)+x^3, g(x-yz)+y, x^2 z - z), calcule el flujo de f a través de la superficie abierta de ecuación z = \sqrt{1 - 4x^2 - y^2} orientada hacia z^+.

Rta: \frac{\pi}{15}


TP11 – Ecuaciones Diferenciales 2º Parte

Lineas de campo

Final 03/12/2012
E2) Siendo f(x,y) = (1, y-x), halle una ecuación cartesiana para la línea de campo de f que pasa por el punto (0,2)

Rta: y = e^x + x + 1

Final 24/07/2012
E3) Sabiendo que f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 tiene función potencial \phi con \phi(x,y) = x^2 - 2x + 2y + 5, halle una ecuación cartesiana para la línea de campo de f que pasa por el punto (0,2).

Rta: e^y = -e^2 (x-1)

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