Solución:
T1) . Se tiene
. Si asumimos que el polinomio de Taylor
se desarrolló en el punto
entonces las derivadas parciales en ese punto coinciden con las de
, es decir se tiene
, y por lo tanto la gráfica de
en ese punto tiene plano tangente horizontal
.
T2) Nos dicen que , por lo tanto
es decir la compuesta
es una función constante. Por lo tanto
para todo
.
E1)
Estudiamos continuidad en . Se tiene que
. Veamos el límite por el camino
.
. No se si existe el límite doble, pero de existir vale 0 que es distinto que 1, por lo tanto
no es continua en
.
E2) La superficie es una esfera centrada en el origen y de radio . Si
es un punto de la esfera, entonces
es un vector normal en dicho punto.
Defino y
. Sus gradientes son
y
. Entonces
En el punto se tiene
que es un vector tangente a la curva en el punto
.
O sea buscamos puntos de la esfera donde la normal es de la forma , como el radio es
dichos puntos son
y
E3) Llamo a la función
.
Defino . Se tiene
.
En se tiene
. Sea
Luego y
, es decir
con
diferenciable en
.
El versor que piden es
La derivada direccional pedida es .
La derivada es nula en los versores tales que
, es decir en
E4) .
,
, la EDO de la familia ortogonal es
,
,
,
,
,
,
, como pasa por
se tiene
y luego
, luego
.
. Si extendemos el dominio por continuidad a
, se tiene
, y el único punto crítico es
pues
. Como
para todo
se tiene que
es mínimo absoluto y relativo.
Buenas! Creo que hay un error en el punto E4, cuando estas haciendo la trayectoria ortogonal.
\ln|y| = – \ln|x| + C ; ahí aplicas propiedades del logaritmo y debería quedar:
|y| = |x^{-1}| + e^C ; pero en el procedimiento pusiste |y| = |x^{-1}| e^C.
Puede ser o estoy haciendo algo mal?
Hola Mati,
Estas haciendo algo mal, acordate que
Saludos,
Damian.
Hola Damián, tengo una pregunta, el T1 lo hice distinto y me da 1 (por lo tanto es continua). Yo lo dividí en la resta de dos limites: e^y (1) y/x (2). El primer límite me da 1 y el segundo 0 por lo cual el límite me queda 1 siendo entonces f continúa en (0,0). Que estoy haciendo mal?
Gracias!
Hola Matias,
El limite tendiendo al origen de y/x no es cero, no existe, proba acercandote por rectas de la forma y=mx, como depende de m no existe.
Saludos,
Damián.