Solución:
T1) Dado , debemos ver si
es extremo local.
Cláramente si entonces no pertenece a la imágen de
. De hecho el conjunto imágen es
. Por lo tanto
es mínimo absoluto, y por lo tanto también es extremo local (mínimo local).
T2) Dada , queremos ver si
es la SG. Tanto la EDO como la familia son de primer orden. Además derivando la familia obtenemos
, por lo tanto efectívamente es la SG.
Obtenemos la SP que pasa por . Debe cumplir
, o sea
, por lo tanto la SP pedida es
E1) Parametrizo con
. Busco sus puntos regulares
Por lo tanto todos sus puntos son regulares.
Para que la recta normal sea paralela al eje , debe cumplirse que
, es decir
Debe ser y además cumplirse
De la primera, ó
.
En la segunda, ó
respectivamente.
Es decir se cumple para y para
Por lo tanto los puntos pedidos son y
Calculamos los planos tangentes en dichos puntos. Primero en
Ahora en
E2) Nos dan
Queremos aproximar . Como
es diferenciable en 1,
es diferenciable en
, luego
Luego, como se tiene
, y
E3) La curva está sobre la superficie
de ecuación
, y su proyección sobre el plano
es de ecuación
.
Parametrizo la curva con . Calculo el punto
.
Su derivada es . Un vector tangente en
es
. Por lo tanto el plano normal es de ecuación
Si tiene un punto en común con el eje el mismo verifica
, es decir
, por lo tanto el único punto en común es
E4) La ecuación define
en un entorno de
.
Defino , luego
Vemos que en su dominio.
Además en se tiene
por lo tanto
En el punto
Por lo tanto por Cauchy-Dini se tiene que es diferenciable en
y además
Por lo tanto, la dirección de máxima derivada direccional es , y el valor de dicha derivada máxima es
Hola profesor, quería saber si va a subir las notas del primer parcial del curso de verano.
Saludos.
Buenas tardes, me sumo al pedido de las notas. Gracias