Final 10/12/2013

final_10_12_2013b

T1) No es contínua pues no existe el límite en (0,0).

T2)
El conjunto de nivel pedido es
C_0 \phi = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x-xy = 0 \}
La línea de campo pedida es
L_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 - (y-1)^2 = 9\}

E1) La circulación es 3.

E2) El flujo es 4\pi orientado hacia z^+

E3) La masa es \frac{k}{12}

E4) El área es \sqrt{5} \pi

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17 comentarios en “Final 10/12/2013

  1. Creo que fue un final bastante fácil, no tuvo cosas extrañas. Agradezco muchísimo a la página por la enorme mano que me dieron para aprobar esta materia. Saludos.

  2. No puedo creer lo facil que fue este final. Los ej 1, 2, 3 y 4 se resuelven en menos de 2 mins cada uno. Me arrepiento totalmente de no haber ido. Ahora a esperar lo peor para el martes que viene lamentablemente.. No creo que tengan piedad 2 fechas seguidas 😦

    • Hola Augusto,
      El enlace que pusistes no parece funcionar. Podrías escribir en \LaTeX la integral que hicistes.
      Igual estoy bastante seguro del resultado que puse en el post.
      Saludos,
      Damián.

      • Desde ya muchísimas gracias por la respuesta y te felicito por la página dado que ayuda muchísimo =). Volviendo al ejercicio, a mi me quedó así:

        \int_{0}^{2 \pi} \int_0^2 ( \rho^3 \cos(\phi) (\sin(\phi))^2, 2 \rho \sin(\phi), \rho^2 (\cos(\phi))^2) * (2 \rho \cos(\phi), 2 \rho \sin(\phi), 1) * \rho d\rho d\phi

        Siendo el vector normal a la superficie: n = (2x, 2y, 1) = (2 \rho \cos(\phi), 2 \rho \sin(\phi), 1)

        Así llegue a \frac{76 \pi}{3}

      • Hola Augusto,
        No podés hacerlo por flujo directo porque el campo sólo lo conocés en el plano xy.
        Tenés que hacerlo por divergencia y restar la tapa.
        Saludos,
        Damián.

      • Hola. Una duda sobre este ejercicio. A mi me da 4\pi el flujo de la tapa con vector normal (0,0,-1). ¿Eso no significaria que el flujo de a traves de la superficie (con vector normal saliente de la misma) debe ser -4\pi para que se compensen y el total de 0 ?

      • Fe de errata del comentario anterior. En realidad quise decir 4Pi y -4Pi respectivamente, pero no se como hacen para poner el simbolito de Pi y eso que puse (4\pi) puede confundir.

    • \varphi(x,y)=x-xy

      Derivando me queda el campo:

      f(x,y)=(1-y,-x)

      Luego aplicando el teorema para hallar lineas de campo:

      \frac{dx}{1-y}=\frac{dy}{-x}

      Integrando a ambos miembros, sacando denominador común el 2 y simplificando llego:

      -x^2+2c=2y-y^2

      Además 2c = constante por ende 2c=k

      Completando cuadrados (solo para llegar a la misma solución que plantea Damian aunque desconozco si hacia falta) del lado de las y:

      x^2-2k=(y-2)^2 pero -2k es otra constante que denomino: F

      x^2+F=(y-2)^2

      Luego despejando y acomodando signos para llegar a la misma expresión:

      x^2 - (y-2)^2 = -F  nuevamente -F = H

      x^2 - (y-2)^2 = H

      Listo se pone el punto (3,1) y te queda que H = 9

      x^2 - (y-2)^2 = 9

      Es el primer ejercicio que hago con latex, no se cuanto se entienda me cuesta bastante pasarlo, pero si algo no se entiende decime y veo como subirte una foto o un link a la foto con la resolución!

      Cualquier error avisarme!

      Saludos.

  3. Hola Damian, no entiendo bien el de circulación. Yo la curse con amed y todos los de circulación siempre eran una circunferencia, aca me cagaron. Como parametrizas una parabola? Gracias!

  4. Maestro. Que tul? Te hago una consulta. En el Ejercicio E2), como lo resuelvo? Como dice que la divergencia es nula, quiere decir que no puedo usar Gauss por lo que tengo entendido, entonces trato de calcular el flujo a traves de la superficie, y no sé como resolverlo dado que no sé como calcular |F’z| (Porque proyecto en x,y).
    Te agradeceria si me das una mano.

    Salute!

    • Hola Marcelo,
      Que tenga divergencia nula no implica que no puedas usar Gauss, al contrario, es fácil utilizar Gauss y la integral da cero. El problema con utilizar Gauss es que la superficie es abierta, por lo tanto después tenés que restar la tapa que vendría a ser un disco circular de radio 2 orientado hacia (0,0,-1) pues la divergencia te da el flujo saliente.
      Saludos,
      Damián.

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