Final 17/12/2013

final_17_12_2013

T1) La ecuación diferencial corregida es y'' + ky' = 4 + 8x
Se obtiene k = 2, y la solución general es y = C_1 + C_2 e^{-2x} + 2x^2

E1) La longitud es \frac{5}{2} \pi

E2) z_0 = 2
El área pedida es \frac{49}{6} \sqrt{41}

E3) El flujo pedido es \frac{1296}{5}

E4) La masa es 12 k \pi

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Final 10/12/2013

final_10_12_2013b

T1) No es contínua pues no existe el límite en (0,0).

T2)
El conjunto de nivel pedido es
C_0 \phi = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x-xy = 0 \}
La línea de campo pedida es
L_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 - (y-1)^2 = 9\}

E1) La circulación es 3.

E2) El flujo es 4\pi orientado hacia z^+

E3) La masa es \frac{k}{12}

E4) El área es \sqrt{5} \pi

Final 03/12/2013

final_03_12_2013

T1) \int_C f dc = \iint_D 3 dA = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18

E1) La función potencial es
\phi(x,y) = 3x^2y + y^3 - 3y + 4
Los extremos (sale usando el hessiano)
(1,0,4) y (-1,0,4) puntos silla
\phi(0,1) = 2 mínimo relativo
\phi(0,-1) = 6 máximo relativo

E2) Una parametrización posible es
g(t) = (t, 1-2t, 3t+1) con -1 \leq t \leq 0
(en la orientación opuesta)

La circulación pedida es
\int_C f dc = - \frac{13}{2}

E3) div(f) = -2
El flujo pedido es
-2 \int_0^2 dx \int_x^{2x} dy \int_0^{6-x-y} dz -2 \int_2^3 dx \int_x^{6-x} dy \int_0^{6-x-y} dz = -12

final_03_12_2013_ej3

#!/usr/bin/env sage 

x, y = var('x,y')
a(x) = x
b(x) = 2*x
y2 = a(x) +  (b(x) - a(x))*y
P = parametric_plot3d((x,y2, 6-x-y2), (x, 0, 2), (y, 0, 1), mesh=True, dot=True, color='green', opacity=0.5)

x, y = var('x,y')
a(x) = x
b(x) = 6-x
y2 = a(x) + (b(x) - a(x))*y
P2 = parametric_plot3d((x,y2, 6-x-y2), (x, 2, 3), (y, 0, 1), mesh=True, color='green', opacity=0.7)

x, y = var('x,y')
a(x) = x
b(x) = 2*x
y2 = a(x) + (b(x) - a(x))*y
Q = parametric_plot3d((x,y2, 0), (x, 0, 2), (y, 0, 1), mesh=True, color='red', opacity=0.5)

x, y = var('x,y')
a(x) = x
b(x) = 6-x
y2 = a(x) + (b(x) - a(x))*y
Q2 = parametric_plot3d((x,y2, 0), (x, 2, 3), (y, 0, 1), mesh=True, color='red', opacity=0.7)


x, z = var('x,z')
a(x) = 0
b(x) = 6-3*x
z2 = a(x) + (b(x) - a(x))*z
R = parametric_plot3d((x, 2*x, z2), (x, 0, 2), (z, 0, 1), mesh=True, color='blue', opacity=0.5)

x, z = var('x,z')
a(x) = 0
b(x) = 6-2*x
z2 = a(x) + (b(x) - a(x))*z
R2 = parametric_plot3d((x,x, z2), (x, 0, 2), (z, 0, 1), mesh=True, color='blue', opacity=0.5)

x, z = var('x,z')
a(x) = 0
b(x) = 6-2*x
z2 = a(x) + (b(x) - a(x))*z
R3 = parametric_plot3d((x,x, z2), (x, 2, 3), (z, 0, 1), mesh=True, color='blue', opacity=0.7)

show(P+P2+Q+Q2+R+R2+R3, mesh=True)

E4) La linea de campo es
x^2 + y^2 = 5^2
Su longitud es 2 \pi \cdot 5 = 10\pi