Tp.12 Ej.5

Dada f(x,y) = y g(x), halle g(x) tal que en un entorno del punto (x_0, y_0) con y_0 \neq 0 resulte f(x,y) \approx g(x_0) (x+y-x_0)

Solución:

Para poder aproximar f en un entorno del (x_0,y_0), es necesario que f sea diferenciable en (x_0,y_0), y por lo tanto que g sea derivable en x_0.

En ese caso tenemos que
f(x,y) \approx f(x_0,y_0) + f'_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)

En este caso
f(x_0,y_0) = y_0 g(x_0)
f'_x(x_0,y_0) = y_0 g'(x_0)
f'_y(x_0,y_0) = g(x_0)

Reemplazando
f(x,y) \approx y_0 g(x_0) + y_0 g'(x_0)(x-x_0) + g(x_0)(y-y_0) =
= y_0 g(x_0) + y_0 g'(x_0)x - y_0 g'(x_0)x_0 + g(x_0)y - g(x_0)y_0 =
= y_0 g'(x_0)x - y_0 g'(x_0)x_0 + g(x_0)y

pero nos piden que
f(x,y) \approx g(x_0) (x+y-x_0)

Luego
y_0 g'(x_0)x + g(x_0)y - y_0 g'(x_0)x_0 = g(x_0) x + g(x_0) y - g(x_0)x_0

De donde (comparando coeficiente a coeficiente este polinomio en x,y):

y_0 g'(x_0) = g(x_0)
g(x_0) = g(x_0)
-y_0 g'(x_0)x_0 = -g(x_0)x_0

Por lo tanto g satisface la EDO
y_0 g' = g
Como y_0 \neq 0
\frac{dg}{g} = \frac{dx}{y_0}
\ln|g| = \frac{x}{y_0} + C
g(x) = K e^{x/y_0}

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