Final 06/08/2013

final_2013-08-06w

Respuestas:

T1) f(0,0) = 3 mínimo relativo y absoluto.

T2) Hay que justificar que div(rot(g)) = 0 usando el teorema de Schwarz.

E1) Se tiene z_0 = 1
Y el flujo pedido es \frac{-729}{20} orientado hacia z^+.

E2) \int_{-\pi/4}^{\pi/4} d\phi \int_{\sqrt{2}}^{2\cos(\phi)} K \frac{\rho}{\rho} d\rho
= K \sqrt{2} [ 2 - \frac{\pi}{2}]

En violeta está dibujada la región de integración.
final_2013-08-06_ej2c
draw2d(
color=black,
parametric(sqrt(2)*cos(t), sqrt(2)*sin(t), t,0, 2*%pi),
parametric(cos(t)+1, sin(t), t,0, 2*%pi)
);

E3) Hay que resolver la ecuación diferencial
g'' - g = 1
con g(0) = 2 y g'(0) = 1
Lo que da
y = 2e^x + e^{-x} - 1

E4) \int_0^4 dx \int_x^6 dy \int_0^{4-x}dz = \frac{112}{3}

En rojo podemos ver el cuerpo
final_2013-08-06_ej4
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="dark-red",
reparametrize(x, y, 4-x, x, 0, 4, y, x, 6),
reparametrize(x, y, 0, x, 0, 4, y, x, 6),
reparametrize(x, 6, z, x, 0, 4, z, 0, 4-x),
reparametrize(x, x, z, x, 0, 4, z, 0, 4-x),
reparametrize(0, y, z, y, 0, 6, z, 0, 4)
);

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21 comentarios en “Final 06/08/2013”

  1. En el E1 la normal del plano tangente me queda como (-5 ; -2 ; 25)…mi duda son los intervarlos de intregracion. No sabia si tomarlos proyectando sobre el plano tangente o no porque me daba algo negativo uno de los limites de integracion

    Responder

    • Hola Eze,
      En el E1 la ecuación del plano queda x + 2y + 5z = 9, lo cual no coincide con la normal que mencionás, no se como la calculastes, podés usar que el gradiente es normal al conjunto de nivel para calcularla.

      Podés proyectar sobre cualquier plano coordenado, pero como es primer octante te tienen que quedar límites de integración no negativos.
      Saludos,
      Damián.

      Responder

      • No se porque use cauchy dini y tome eso como valor de la normal…era una boludez el ejericicio. Gracias

  3. Ojo!! que en el E3) la EDO que se obtiene es NO HOMOGENEA, entonces su SG es: Y = Yh + Yp.

    Lo que se esta obteniendo en la respuesta del E3) es Yh, faltaria obtener Yp por el metodo de los coeficientes indeterminados.

    Saludos.

    Responder

  6. Hola Damian, te hago una consulta por que tengo duda si un par de teoricos estan bien. Son de demostracion de diferenciabilidad, es solo para que chequees si esta bien porque noto que tiene alguno error y no se cual es el que esta bien. Son el teorico de diferenciabilidad implica continuidad, diferenciabilidad implica derivabilidad y la definicion de derivabilidad


    Responder

  7. Hola Eze,
    Todos esos teoremas y definiciones están en mi apunte teórico.

    En la definición de diferenciabilidad, conviene aclarar que A es punto interior.

    Cada vez que ponés E(X), lo correcto sería poner E(X-A), pero eso en el teorema de diferenciable implica derivable te queda medio extraña la sustitución, lo correcto en esa parte sería: Tengo E(X-A), sustituyo X = A + hu, queda E(hu) que tiende a cero cuando u \to 0.

    Leelo de mi apunte aunque yo lo escribo un poco distinto porque prefiero mencionar la transformación lineal.

    Saludos,
    Damián.

    Responder

    • Hola Julian,

      Primero calculás que los puntos de intersección entre las circunferencias son el (1,1) y el (1,-1). De ahí el ángulo lo podés sacar por ejemplo de las siguientes maneras:

      1º) visualmente (en el gráfico)
      2º) sabiendo que tan(\phi_1) = y/x = 1/1 = 1 y que tan(\phi_2) = y/x = -1/1 = -1 (y que arctan(1) = \pi/4)
      3º) reconociendo que son vectores directores de las rectas y=x y y=-x, que tienen pendientes \pi/4 y -\pi/4 respectivamente.

      Saludos,
      Damián.

      Responder

  11. Hola, antes que nada muchas gracias por las prontas respuestas!
    Estoy muy trabado con el ejercicio E1) podrias decirme maso menos los pasos a seguir? Sin necesidad de desarrollarlos, con los “titulos” me es suficiente (Onda, primero obtenemos el plano mediante… despues con ese plano sacamos….).

    Y respecto al ejercicio E3) Yo primero integro respecto de X lo que seria (siendo “F” la funcion potencial) F’x y luego lo derivo respecto de y para igualarlo a F’y sin embargo me queda algo asi

    g'(x) = x + x g'(x) + K

    Y no se como seguir!
    Muchas gracias por toda la ayuda

    Responder

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