Final 06/08/2013

final_2013-08-06w

Respuestas:

T1) f(0,0) = 3 mínimo relativo y absoluto.

T2) Hay que justificar que div(rot(g)) = 0 usando el teorema de Schwarz.

E1) Se tiene z_0 = 1
Y el flujo pedido es \frac{-729}{20} orientado hacia z^+.

E2) \int_{-\pi/4}^{\pi/4} d\phi \int_{\sqrt{2}}^{2\cos(\phi)} K \frac{\rho}{\rho} d\rho
= K \sqrt{2} [ 2 - \frac{\pi}{2}]

En violeta está dibujada la región de integración.
final_2013-08-06_ej2c
draw2d(
color=black,
parametric(sqrt(2)*cos(t), sqrt(2)*sin(t), t,0, 2*%pi),
parametric(cos(t)+1, sin(t), t,0, 2*%pi)
);

E3) Hay que resolver la ecuación diferencial
g'' - g = 1
con g(0) = 2 y g'(0) = 1
Lo que da
y = 2e^x + e^{-x} - 1

E4) \int_0^4 dx \int_x^6 dy \int_0^{4-x}dz = \frac{112}{3}

En rojo podemos ver el cuerpo
final_2013-08-06_ej4
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="dark-red",
reparametrize(x, y, 4-x, x, 0, 4, y, x, 6),
reparametrize(x, y, 0, x, 0, 4, y, x, 6),
reparametrize(x, 6, z, x, 0, 4, z, 0, 4-x),
reparametrize(x, x, z, x, 0, 4, z, 0, 4-x),
reparametrize(0, y, z, y, 0, 6, z, 0, 4)
);

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