Final 21/05/2013

Final_21_05_2013

Fe de erratas:rata En el E3 donde dice z + x^2 + y^2 \geq 2 debe decir z + x^2 + y^2 \leq 2

Resolución “a la mathematica”
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cdf-icon-16 final_21_05_2013.cdf

Respuestas:
T1) Las direcciones de derivada direccional nula son
r_1 = \frac{(-12,7)}{||(-12,7)||}
r_2 = - r_1

Cuidado! Hay una sutileza que puede producir el resultado correcto pero utilizando un razonamiento incorrecto:
El conjunto de nivel 4 de f es x^2 y^3 = 9x - 1 es decir x^2 y^3 - 9x + 1 = 0 o sea x^2 y^3 - 9x + 5 = 4.

Lo erroneo sería pensar que de ahí se pueda deducir que f(x,y) = x^2 y^3 - 9x + 5 y luego \nabla f(x,y) = (2xy^3 - 9, 3x^2y^2). Pero eso no es necesariamente cierto pues hay muchas funciones que cumplen lo pedido, por ejemplo f_k(x,y) = k(x^2 y^3 - 9x + 1) + 4 posee el mismo conjunto de nivel 4 para cualquier k \neq 0, en efecto su conjunto de nivel 4 viene dado por

k(x^2 y^3 - 9x + 1) + 4 = 4
k(x^2 y^3 - 9x + 1) = 0
x^2 y^3 - 9x + 1 = 0
x^2 y^3 = 9x - 1

pero no tienen todas el mismo gradiente, pues son vectores paralelos pero de normas diferentes: \nabla f_k(x,y) = k (2xy^3 - 9, 3x^2y^2)

Lo correcto sería (por ejemplo) definir g(x,y) = x^2 y^3 - 9x + 5, y utilizar que el gradiente de función diferenciable es normal al conjunto de nivel para deducir que \nabla f(1,2) = \lambda \nabla g(1,2) (para algún \lambda \in \mathbb{R}), y de ahí sacar los versores normales que van a ser los mismos.

T2) Se pedía deducir que div(rot(f)) = 0 para f \in C^2.

E1) h(0.98, 3.01) \approx 4 + \frac{4}{3}(-0.02) + \frac{4}{3}(0.01) = 3.986666\ldots

E2) Para mi lo más fácil es parametrizar la curva con
g(t) = ( \cos(t) + 1, \sin(t), 9 - \sin^2(t) ) con 0 \leq t \leq \pi
y queda la circulación
- \int_0^{\pi} (\cos(t) + 1 + \sin(t), \sin(t), \sin^2(t)) \cdot (-\sin(t), \cos(t), -2\sin(t)\cos(t)) dt = 2 + \frac{\pi}{2}

según el wolfram.

E3) \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho d\rho \int_{\rho}^{2-\rho^2} dz = \frac{5}{6}\pi

E4) g(x) = 2x

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16 comentarios en “Final 21/05/2013

  1. hola, una pregunta, en el ejercicio e2 de circulacion yo lo calcule de pi a cero.. Me dio el mismo resultado que a vos, pero la condicion pedia primer octante y por lo que noto es erroneo considerar la circulacion pedida como la mitad de la circulacion total como hice yo,.. en limpio lo calculado al ser de pi a cero esta en los 2 primeros cuadrantes.. Y al pedir solo el primero y ser simetrico al resultado lo dividi sobre 2, pero por que esta mal??? Espero tu respuesta dami.

  2. El E3 tmb se podia parametrizar directamente despejando a Z y X con respecto a Y, y lo hice asi hoy y lo hice bien, una lastima hice el 2 y 3 bien y el T2 regular, conclusion; dos.

    • perdon el E2 quise decir, y=raiz(2x-x^2)[aca justificas que sacas el modulo a la Y porque es primer octante] z=9-2x+x^2 y despues integras enre 0 y 2

  3. El e2 se puede plantear por rotor??? te mato si planteas como queda la compuesta en el e1…llegue justo con el tiempo y la verdad que me resulto confuso como quedaba sin hacer regla de la cadena.
    Era facil el final…me equivoque en boludeces

  4. hola dami una pregunta , no entiendo por q los limites del E2) van de 0 a pi ,,,, no entiendo por q en la parametrizacion t es menos q 0 y mayor q pi, ,,¿es por q primero parametrizas con la ecuacion del cilindro?

    • Hola Julian,
      En el E2, porque g(0) = B y g(\pi) = A, por eso además cambio el signo de la integral ya que pedían desde A hasta B.
      Me resultó más fácil parametrizar de esa manera, pero hay muchas formas de hacerlo, y con otras parametrizaciones te queda en la orientación correcta.
      No entendí lo que decís con “en la parametrizacion t es menos q 0 y mayor q pi”.
      Saludos,
      Damián.

  5. Hola, muchas gracias por todo tu trabajo y tu tiempo.
    Estuve resolviendo este final y en el E3 me agarra la duda de lo que vendria a ser el recinto proyeccion R para el calculo del volumen. No estoy seguro si deberia quedar un recinto proyectante con :

    2 circunferencias (una mayor que la otra), siendo R la region entre medio de ambas
    o
    1 circunferencia (siendo R la region dentro) dado que el volumen a calcular seria lo que queda despues de la interseccion del cono con el paraboloide, hasta el tope de este ultimo.

    Muchas muchas gracias

    • Hola Alan,
      La proyección sobre el plano xy queda un sólo disco circular. El radio lo sacás de la intersección de las superficies.
      Saludos,
      Damián.

  6. Hola dami, siguiendo con el E3, te hago una pregunta. Como resolviste la interseccion de las superficies? a mi me dan 2 circunferencias y acabas de decir que te queda una sola, como hiciste?
    Saludos

    • Hola Pablo,
      Cuando planteás la intersección te queda z + z^2 = 2. Una raíz es 1 y la otra es -2, pero esa última no va porque debe ser z \geq 0 por la raíz cuadrada. Te queda una circunferncia de radio 1 en el plano z=1
      Saludos,
      Damián.

  7. Hola che, mira yo hice el E4 y me da diferente, hice:
    f(x,y)= (2yg(x) , xg(x))
    de los datos obtengo que g(1)= 2
    después planteo P’y = Q’x (condición necesaria para la existencia de función potencial)
    me queda 2g(x) =g'(x)
    cambio g(x)=y para que quede expresado mas sencillo, entonces tengo:
    2y=y’
    2y= dy/dx
    2dx=dy/y
    integro en ambos lado y me queda:
    2x=ln|ky|
    despejando y y considerando que la constante puede ser negativa o positiva me queda:

    SG: y=A(e^2x)

    volviendo a la notación original
    g(x)=A(e^2x)
    como g(1)= 2
    me queda que A=2e^-2

    y reemplazando en la SG me queda la SP:

    g(x)=2e^x

    pero a vos te dio distinto, y no se porque! un saludo, y espero me corrijan si hice algo mal! saludos

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