Final 21/05/2013

Final_21_05_2013

Fe de erratas:rata En el E3 donde dice z + x^2 + y^2 \geq 2 debe decir z + x^2 + y^2 \leq 2

Resolución “a la mathematica”
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cdf-icon-16 final_21_05_2013.cdf

Respuestas:
T1) Las direcciones de derivada direccional nula son
r_1 = \frac{(-12,7)}{||(-12,7)||}
r_2 = - r_1

Cuidado! Hay una sutileza que puede producir el resultado correcto pero utilizando un razonamiento incorrecto:
El conjunto de nivel 4 de f es x^2 y^3 = 9x - 1 es decir x^2 y^3 - 9x + 1 = 0 o sea x^2 y^3 - 9x + 5 = 4.

Lo erroneo sería pensar que de ahí se pueda deducir que f(x,y) = x^2 y^3 - 9x + 5 y luego \nabla f(x,y) = (2xy^3 - 9, 3x^2y^2). Pero eso no es necesariamente cierto pues hay muchas funciones que cumplen lo pedido, por ejemplo f_k(x,y) = k(x^2 y^3 - 9x + 1) + 4 posee el mismo conjunto de nivel 4 para cualquier k \neq 0, en efecto su conjunto de nivel 4 viene dado por

k(x^2 y^3 - 9x + 1) + 4 = 4
k(x^2 y^3 - 9x + 1) = 0
x^2 y^3 - 9x + 1 = 0
x^2 y^3 = 9x - 1

pero no tienen todas el mismo gradiente, pues son vectores paralelos pero de normas diferentes: \nabla f_k(x,y) = k (2xy^3 - 9, 3x^2y^2)

Lo correcto sería (por ejemplo) definir g(x,y) = x^2 y^3 - 9x + 5, y utilizar que el gradiente de función diferenciable es normal al conjunto de nivel para deducir que \nabla f(1,2) = \lambda \nabla g(1,2) (para algún \lambda \in \mathbb{R}), y de ahí sacar los versores normales que van a ser los mismos.

T2) Se pedía deducir que div(rot(f)) = 0 para f \in C^2.

E1) h(0.98, 3.01) \approx 4 + \frac{4}{3}(-0.02) + \frac{4}{3}(0.01) = 3.986666\ldots

E2) Para mi lo más fácil es parametrizar la curva con
g(t) = ( \cos(t) + 1, \sin(t), 9 - \sin^2(t) ) con 0 \leq t \leq \pi
y queda la circulación
- \int_0^{\pi} (\cos(t) + 1 + \sin(t), \sin(t), \sin^2(t)) \cdot (-\sin(t), \cos(t), -2\sin(t)\cos(t)) dt = 2 + \frac{\pi}{2}

según el wolfram.

E3) \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho d\rho \int_{\rho}^{2-\rho^2} dz = \frac{5}{6}\pi

E4) g(x) = 2x

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16 comentarios en “Final 21/05/2013”

  1. hola, una pregunta, en el ejercicio e2 de circulacion yo lo calcule de pi a cero.. Me dio el mismo resultado que a vos, pero la condicion pedia primer octante y por lo que noto es erroneo considerar la circulacion pedida como la mitad de la circulacion total como hice yo,.. en limpio lo calculado al ser de pi a cero esta en los 2 primeros cuadrantes.. Y al pedir solo el primero y ser simetrico al resultado lo dividi sobre 2, pero por que esta mal??? Espero tu respuesta dami.

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  3. El E3 tmb se podia parametrizar directamente despejando a Z y X con respecto a Y, y lo hice asi hoy y lo hice bien, una lastima hice el 2 y 3 bien y el T2 regular, conclusion; dos.

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    • perdon el E2 quise decir, y=raiz(2x-x^2)[aca justificas que sacas el modulo a la Y porque es primer octante] z=9-2x+x^2 y despues integras enre 0 y 2

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  5. El e2 se puede plantear por rotor??? te mato si planteas como queda la compuesta en el e1…llegue justo con el tiempo y la verdad que me resulto confuso como quedaba sin hacer regla de la cadena.
    Era facil el final…me equivoque en boludeces

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  6. hola dami una pregunta , no entiendo por q los limites del E2) van de 0 a pi ,,,, no entiendo por q en la parametrizacion t es menos q 0 y mayor q pi, ,,¿es por q primero parametrizas con la ecuacion del cilindro?

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    • Hola Julian,
      En el E2, porque g(0) = B y g(\pi) = A, por eso además cambio el signo de la integral ya que pedían desde A hasta B.
      Me resultó más fácil parametrizar de esa manera, pero hay muchas formas de hacerlo, y con otras parametrizaciones te queda en la orientación correcta.
      No entendí lo que decís con “en la parametrizacion t es menos q 0 y mayor q pi”.
      Saludos,
      Damián.

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  8. Hola, muchas gracias por todo tu trabajo y tu tiempo.
    Estuve resolviendo este final y en el E3 me agarra la duda de lo que vendria a ser el recinto proyeccion R para el calculo del volumen. No estoy seguro si deberia quedar un recinto proyectante con :

    2 circunferencias (una mayor que la otra), siendo R la region entre medio de ambas
    o
    1 circunferencia (siendo R la region dentro) dado que el volumen a calcular seria lo que queda despues de la interseccion del cono con el paraboloide, hasta el tope de este ultimo.

    Muchas muchas gracias

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    • Hola Alan,
      La proyección sobre el plano xy queda un sólo disco circular. El radio lo sacás de la intersección de las superficies.
      Saludos,
      Damián.

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  9. Hola dami, siguiendo con el E3, te hago una pregunta. Como resolviste la interseccion de las superficies? a mi me dan 2 circunferencias y acabas de decir que te queda una sola, como hiciste?
    Saludos

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    • Hola Pablo,
      Cuando planteás la intersección te queda z + z^2 = 2. Una raíz es 1 y la otra es -2, pero esa última no va porque debe ser z \geq 0 por la raíz cuadrada. Te queda una circunferncia de radio 1 en el plano z=1
      Saludos,
      Damián.

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  11. Hola che, mira yo hice el E4 y me da diferente, hice:
    f(x,y)= (2yg(x) , xg(x))
    de los datos obtengo que g(1)= 2
    después planteo P’y = Q’x (condición necesaria para la existencia de función potencial)
    me queda 2g(x) =g'(x)
    cambio g(x)=y para que quede expresado mas sencillo, entonces tengo:
    2y=y’
    2y= dy/dx
    2dx=dy/y
    integro en ambos lado y me queda:
    2x=ln|ky|
    despejando y y considerando que la constante puede ser negativa o positiva me queda:

    SG: y=A(e^2x)

    volviendo a la notación original
    g(x)=A(e^2x)
    como g(1)= 2
    me queda que A=2e^-2

    y reemplazando en la SG me queda la SP:

    g(x)=2e^x

    pero a vos te dio distinto, y no se porque! un saludo, y espero me corrijan si hice algo mal! saludos

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