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Final 21/05/2013

Miércoles, mayo 22nd, 2013

Final_21_05_2013

Fe de erratas:rata En el E3 donde dice z + x^2 + y^2 \geq 2 debe decir z + x^2 + y^2 \leq 2

Resolución “a la mathematica”
nb-icon-16 final_21_05_2013.nb

cdf-icon-16 final_21_05_2013.cdf

Respuestas:
T1) Las direcciones de derivada direccional nula son
r_1 = \frac{(-12,7)}{||(-12,7)||}
r_2 = - r_1

Cuidado! Hay una sutileza que puede producir el resultado correcto pero utilizando un razonamiento incorrecto:
El conjunto de nivel 4 de f es x^2 y^3 = 9x - 1 es decir x^2 y^3 - 9x + 1 = 0 o sea x^2 y^3 - 9x + 5 = 4.

Lo erroneo sería pensar que de ahí se pueda deducir que f(x,y) = x^2 y^3 - 9x + 5 y luego \nabla f(x,y) = (2xy^3 - 9, 3x^2y^2). Pero eso no es necesariamente cierto pues hay muchas funciones que cumplen lo pedido, por ejemplo f_k(x,y) = k(x^2 y^3 - 9x + 1) + 4 posee el mismo conjunto de nivel 4 para cualquier k \neq 0, en efecto su conjunto de nivel 4 viene dado por

k(x^2 y^3 - 9x + 1) + 4 = 4
k(x^2 y^3 - 9x + 1) = 0
x^2 y^3 - 9x + 1 = 0
x^2 y^3 = 9x - 1

pero no tienen todas el mismo gradiente, pues son vectores paralelos pero de normas diferentes: \nabla f_k(x,y) = k (2xy^3 - 9, 3x^2y^2)

Lo correcto sería (por ejemplo) definir g(x,y) = x^2 y^3 - 9x + 5, y utilizar que el gradiente de función diferenciable es normal al conjunto de nivel para deducir que \nabla f(1,2) = \lambda \nabla g(1,2) (para algún \lambda \in \mathbb{R}), y de ahí sacar los versores normales que van a ser los mismos.

T2) Se pedía deducir que div(rot(f)) = 0 para f \in C^2.

E1) h(0.98, 3.01) \approx 4 + \frac{4}{3}(-0.02) + \frac{4}{3}(0.01) = 3.986666\ldots

E2) Para mi lo más fácil es parametrizar la curva con
g(t) = ( \cos(t) + 1, \sin(t), 9 - \sin^2(t) ) con 0 \leq t \leq \pi
y queda la circulación
- \int_0^{\pi} (\cos(t) + 1 + \sin(t), \sin(t), \sin^2(t)) \cdot (-\sin(t), \cos(t), -2\sin(t)\cos(t)) dt = 2 + \frac{\pi}{2}

según el wolfram.

E3) \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho d\rho \int_{\rho}^{2-\rho^2} dz = \frac{5}{6}\pi

E4) g(x) = 2x

Ejercicio de límite

Viernes, mayo 3rd, 2013

Calcular el siguiente límite

\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 y^2}{x^4 + y^4}

Solución:

\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 y^2}{x^4 + y^4}

= \lim_{(x,y) \to (0,0)} \underbrace{x}_{\to 0} \underbrace{\frac{x^2 y^2}{x^4 + y^4}}_{[0,\frac{1}{2}]} = 0

Una manera elegante de justificar que la función está acotada sale de usar que

(x^2 - y^2)^2 = x^4 - 2x^2 y^2 + y^4 \geq 0

Luego,

0 \leq 2 x^2y^2 \leq x^4 + y^4

dividiendo por 2(x^4 + y^4) > 0 (válido en \mathbb{R}^2 - \{(0,0)\})

0 \leq \frac{x^2y^2}{x^4 + y^4} \leq \frac{1}{2}