2º Parcial Curso de Verano 2013

T1) Enuncie el teorema de la divergencia. Dado el campo f con matriz jacobiana Df según se indica, calcule el flujo de f a través de una superficie esférica de radio R=3 con centro en el origen; indique gráficamente como ha orientado la superficie.

Df(x,y,z) = \begin{pmatrix} 2x & z & y \\ z & y-1 & x \\ -2z & 2y & 4-2x \end{pmatrix}

T2) Defina solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Dado el campo vectorial f(x,y) = (4 - y g(x), g'(x) ) tal que f(0,1) = (0,2), halle g(x) sabiendo que f admite función potencial.

E1) Sea C la curva integral de y'' + y = 0 que pasa por el origen con pendiente igual a \pi/2. Calcule el área de la región plana del 1º cuadrante limitada por C y la recta de ecuación y=x con x \leq \pi/2.

E2) La curva C queda definida por la intersección de las superficies de ecuaciones: z = x + y^2, x = y^2; calcule la circulación de f desde (1,1,2) hasta (4,2,8), sabiendo que f(x,y,z) = (xy, y^3, yz).

E3) Calcule el volumen del cuerpo definido por: x^2 + z^2 \leq 4, -x \leq y \leq x, z \geq 0.

E4) Dado f(x,y,z) = (xy, xz, 2yz), calcule el flujo de f a través de la superficie \Sigma abierta de ecuación z = 4-x^2 con z \geq x^2 + 2y^2 en el 1º octante. Indique gráficamente cómo ha decidido orientar a \Sigma.

Solución: (de la parte práctica)

T1) Enuncie el teorema de la divergencia. Dado el campo f con matriz jacobiana Df según se indica, calcule el flujo de f a través de una superficie esférica de radio R=3 con centro en el origen; indique gráficamente como ha orientado la superficie.

Df(x,y,z) = \begin{pmatrix} 2x & z & y \\ z & y-1 & x \\ -2z & 2y & 4-2x \end{pmatrix}

div(f) = 2x + y-1 + 4-2x = y+3

\iint_S f ds = \iiint_V y+3 dxdydz = \iiint_V y dxdydz + 3 \cdot Vol(V)
Pero
\underbrace{\int_0^{2\pi} \sin(\alpha) d\alpha}_{=0} \int_0^\pi \sin^2(\beta) d\beta \int_0^{3} \rho^3 d\rho = 0
Luego el flujo equivale al triple del volúmen de la esfera, es decir
\iint_S f ds = 3 \frac{4}{3} \pi 3^3 = 108 \pi
(orientado en forma saliente)


T2) Defina solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Dado el campo vectorial f(x,y) = (4 - y g(x), g'(x) ) tal que f(0,1) = (0,2), halle g(x) sabiendo que f admite función potencial.

f(x,y) = (4 - y g(x), g'(x) ) = (P,Q)

Como admite función potencial sabemos que
Q'_x - P'_y = 0
es decir
g'' + g = 0

Resolvemos la EDO lineal de 2º orden. La ecuación característica es
\alpha^2 + 1 = 0 (raíces complejas conjugadas i y -i)
por lo tanto la SG es
g(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)
g'(x) = - C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x)

Como
f(0,1) = (0,2)
tenemos que
4 - g(0) = 0
g'(0) = 2

Luego
4 = C_1
2 = C_2

Finalmente
g(x) = 4 \cos(x) + 2 \sin(x)


E1) Sea C la curva integral de y'' + y = 0 que pasa por el origen con pendiente igual a \pi/2. Calcule el área de la región plana del 1º cuadrante limitada por C y la recta de ecuación y=x con x \leq \pi/2.

Resolvemos la EDO lineal de 2º orden
y'' + y = 0
cuyo polinomio característico es
\alpha^2 + 1 = 0 (raíces complejas conjugadas i y -i)
y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)
y' = -C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x)

como pasa por el origen
0 = C_1
Como tiene pendiente igual a \pi/2
\pi/2 = C_2

luego
y = \pi/2 \sin(x)

El área pedida es
\int_0^{\pi/2} dx \int_x^{\pi/2 \sin(x)} dy = \int_0^{\pi/2} \pi/2 \sin(x) - x dx
= \left[ - \frac{\pi}{2} \cos(x) - \frac{x^2}{2} \right]_0^{\pi/2}
= (0 - \frac{\pi^2}{8} ) - (- \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi}{2}\left(1 - \frac{\pi}{4} \right) \approx 0.337096...


E2) La curva C queda definida por la intersección de las superficies de ecuaciones: z = x + y^2, x = y^2; calcule la circulación de f desde (1,1,2) hasta (4,2,8), sabiendo que f(x,y,z) = (xy, y^3, yz).

Parametrizo C con
g(t) = (t^2, t, 2t^2) con 1 \leq t \leq 2
Luego la circulación pedida es
\int_1^2 (t^3, t^3, 2t^3) \cdot (2t, 1, 4t) dt
= \int_1^2 2t^4 + t^3 + 8t^4 dt = \frac{263}{4}


E3) Calcule el volumen del cuerpo definido por: x^2 + z^2 \leq 4, -x \leq y \leq x, z \geq 0.

Uso cilíndricas sobre el eje y. Se tiene x,z \geq 0.

V = \int_0^{\pi/2} d\phi \int_{0}^2 \rho d\rho \int_{-\rho \cos(\phi)}^{\rho \cos(\phi)} dy

= 2 \int_0^{\pi/2} \cos(\phi) d\phi \int_{0}^2 \rho^2 d\rho

= 2 \cdot \frac{8}{3} \left[ \sin(\phi) \right]_0^{\pi/2}

= \frac{16}{3}

Luego el volúmen pedido es \frac{16}{3}


E4) Dado f(x,y,z) = (xy, xz, 2yz), calcule el flujo de f a través de la superficie \Sigma abierta de ecuación z = 4-x^2 con z \geq x^2 + 2y^2 en el 1º octante. Indique gráficamente cómo ha decidido orientar a \Sigma.

La superficie es de ecuación z = h(x,y) con h(x,y) = 4 - x^2
Luego el vector normal es
N = (-h'_x, -h'_y, 1) = (2x, 0, 1) (orienté hacia los z^+)

Intersecto las superficies
z = 4-x^2
z = x^2 + 2y^2

me queda
4-x^2 = x^2 + 2y^2
x^2 + y^2 = 2

Se ve que la proyección de la superficie sobre el plano xy es

A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 2, x,y \geq 0\}

Luego el flujo pedido es
\iint_\Sigma f ds = \iint_A (xy, x(4-x^2), 2y(4-x^2)) \cdot (2x, 0, 1) dxdy
= \iint_A 2 x^2 y + 8y - 2yx^2 dxdy
= 8 \iint_A y dxdy
en polares
= 8 \int_0^{\pi/2} \sin(\phi) d\phi \int_0^{\sqrt{2}} \rho^2 d\rho = \frac{16}{3} \sqrt{2}