No tengo la resolución, pero como siempre pueden comentar sus respuestas.
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En los comentarios podés escribir expresiones matemáticas usando código
.Por ejemplo si escribís...
$latex 2 \int_0^4 dx \int_0^8 dz = 64 $
...se visualiza como:
Podés practicar en este post.Más información (en inglés)
APROBEEE! AGUANTE LA PAGINA Y LA GENTE QUE COMPARTE SUS INQUIETUDES!!! GRACIASS!!!
E4) Para proyectar sobre
, se igualan 
y 
, obteniendo 
que es proyectado al plano 
. La otra función que limita la proyección es 
Si se grafica, se ve que es como una porción de pizza.
Planteando la integral:
Pasando a polares:
Segun wolfram el resultado está bien. Espero que el planteo también
que me acuerde
E1) Y=-SEN(X)
E2) 4 pi
E3) 2X-Z=0
E4) 2 pi
Podrian poner como resolvieron el e1) y e3). Gracias
E3) Primero hay que buscar primero los tres puntos dónde la tangente (
) a la superficie 
que es paralelo al plano 
.
se puede tomar como 
o 
.
es 
.
como 
. Se obtiene el gradiente 
.
Para que sean paralelos sus normales tienen que ser paralelas.
La normal de
La ecuación de
Reescribiendo
Ahora para hacer las normlaes paralelas se tiene que dar que:
lo que significa que 
y 
.
Ahora se obtienen los puntos de estas ecuaciones. Hay muchas formas de hacerlos, una es reescribiendo la segunda como
. Se despejan fácil 3 valores para 
que se usan en la primera para obtener: 
. La componente 
se obtiene reemplazando los puntos en la ecuacion original de 
.
Resolviendo se obtienen tres puntos:
Ahora creamos dos vectores usando los tres puntos:
Estos dos vectores pertenecen al plano que forma el triángulo que buscamos. Haciendo el producto vectorial
obtenemos la normal al plano que buscamos. 
. Simplificando el vector normal 
.
Finalemnte la ecuación del plano que contiene los tres puntos es
. Siendo la ecuación cartesiana: 
.
Corrección de notación: Cuando hablo de la superficie
es 
. No me di cuenta que ‘Sigma’ iba como mayúsucula en latex.
una duda martin, el plano que encontras el 2x-z no deberia ser paralelo al plano xy?
fortín, lo que tiene que ser paralelo al plano
es el plano tangente a 
. Es la condición que se usa para obtener los puntos (vértices de un triángulo imaginario). Una vez consiguen los puntos, se arma un nuevo plano que no tiene por que se paralelo al plano 
.
El hecho de que el plano al que pertenecían cada uno de los puntos era paralelo al plano
, no significa que el nuevo plano que los contenga sea también paralelo.
Uh… me parece que no sonó tan claro.
La ecuación cartesiana del plano no debería ser evaluada sobre un punto para sacar la constante? Ejemplo 2x -z + D = 0
En el E2, yo lo hice con Green como si fuera cerrado, y me dio 4pi. Pero en el ejercicio lo pide abierto de (2;0) (-2;0). Alguien sabe como se resuelve?
Hola!
yo lo hice con green y luego le reste la circulación de la linea que une los dos puntos de la semicircunsferencia que te da cero, por ende el resultado te queda 4pi
Gracias!
E2)
):
es el área del semicriculo 
. Como 
, entonces area es $latex 
Aplicando Green para obtener circulación como si fuese cerrada (
Dónde
Luego, la circulación como si fuese cerrada:
Ahora se calcula la circulación (
) del segmento 
.
.
con ![t\in [-2,2]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=t%5Cin+%5B-2%2C2%5D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002 "t\in [-2,2]")
.
.
.
La recta sobre la que está el segmento es
Parametrizado queda como
La derivada
Componiendo con la función
Con todo se calcula la circulación del segmento:
.
Luego,la circulación del segmento:
La circulación solicitada se obtiene operando:
.
.
Finalmente la circulación solicitada es
Formula does not parse debería verse así.
PD: No me dí cuenta que ya habían respondido!
me parece que era -4pi el resultado.. porque la circulacion va desde (2,0) hasta (-2,0)… entonces la intregral te querdaria abajo el 2 y arriba el -2.. pero como es una villereada hacer eso, pones el – adealnte de la integral e invertis los limites
Puede ser Ignacio! Igual, te planteo mi punto de vista.
Aplicando Green
. La circulación en Green se toma en “sentido positivo” (sentido antihorario), viajando a través de la semi circunferencia sería desde 2 a -2.
[Aclaración: la circulación en green se toma como si fuese de un área cerrada.]
Se obtiene que
, eso se saca afuera de la integral y queda la integral de área 
. La integral del área es 
, el signo no puede ser negativo porque el área debe ser positiva. De ahí, la circulación también es positiva.
El segmento
también respeta eso ![x \in [-2,2]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=x+%5Cin+%5B-2%2C2%5D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002 "x \in [-2,2]")
.
Por lo menos, así lo veo yo.
Hola Martin,
Leí tu resolución del E2 y lo veo bien.
Ignacio Varela: La circulación que querés de (2,0) a (-2,0) es sobre la circunferencia, no sobre el segmento de recta. El segmento de recta del (-2,0) al (2,0) se lo restás porque se lo agregastes como una “tapa” para aplicar green, que siempre se usa en sentido antihorario.
Saludos,
Damián.
Dos cosas, primero que nada que creo que con hacerlo pro green ya esta, porque es una curva cerrada.
De todos modos no entiendo como calculas la circunferencia en la segunda parte tengo entendido como circunferencia: Integral de Pdx + Qdy. No enteidno vos planteas la intefral de F(h(t))*h`(t)
Hola lucasgcaro,
no es una curva cerrada, es abierta. Es una semi-circunferencia.
y 
son equivalentes.
Ojo que
Vos como resolvés esa integral? Las fórmulas
Saludos,
Damián.
Gracias Dami, entiendo lo que decis. No me termina de quedar en claro porque son equivalentes las dos formulas, pero fui a mis apuntes y lo tenia anotado tal como me decis. Gracias!!
Listo, escribiendo la respuesta tambien entendi porque son equivalentes! Gracias de nuevo Dami.
Muchas gracias al Blog y a Damian. Por suerte pude aprobar este final. Me pareció medio áspero pero pensandolo un poco sale.
Saludos y exitos para los que la están preparando.
Gracias Damián por el blog!! Aprobé este final ayer, lo había colgado y se me estaba por vencer. Feliz de que no tengo que recursar.
Los resultados que pasaron en un comentario por ahí son los que me dio a mí, salvo el E3 que no lo hice directamente.
Saludos y éxitos!!!
alguien resolvio el T1?
T1) El rotor de
es 
. Operando se obtiene 
.
Los puntos de la curva
pertenecen al plano 
, entonces se puede usar la normal del plano para aplicar el teorema de Stokes. La normal es 
.
Resolviendo se obtiene:
Quedando verificado lo solicitado en la consigna.
gracias!
Muchas gracias Damian por tus aportes, aprobe este final y me fue muy util tu página! Seguí así que ayudas a mucha gente!
Alguien resolvio el e1) , llegue a encontrar la el resultado de la ecuacion diferencia, quedandome y= u sen x. algo se ve que hice mal. Gracias
Por favor alguién resuelva en detalle el E1
Favio, te cuento que hice yo , y por que estoy solicitando tambien si alguien puede ayudar..
Primero resuelvo la ecuacion diferencial. La ecuacion diferencial te queda y=c1 cos(x) + c2 sen(x) . Como tengo dos constantes arbitrarias, tengo que seguir con el enunciado..
Por otro lado, te estan diciendo que pasa por el (0,0).. Por lo que y(0)=0 –> de aqui obtengo que c1 = 0 .. Faltaria allar el c2 y es donde me pierdo.. por que por lo antes dicho.. y= c2 sen(x)… –> y’ = c2 cos(x) y de la cuerva obtengo x = u+1 e y= X U –> de aqui saco que y’ = u y obtengo que c2 = u. por lo que el resultado final me quedaria y=u sen(x) … Indudablemente esta mal por que en el final me lo pusieron mal.. pero no difiere mucho de lo que pusieron arriba.. Le estoy pifieando en la resolucion de la pendiente…
Tambien agradeceria cualquier comentario..
Hola Javier,
Queremos la pendiente en el origen de la curva. La parametrizo como
Luego
Luego el vector tangente en el origen es:
Luego la pendiente es
Otra forma de sacar la pendiente es pasando a cartesianas:
, luego 
, reemplazo en la otra ecuación y
derivo:
luego la pendiente es:
Tu desarrollo venía bien hasta
Igualo las pendientes
Finalmente,
Saludos,
Damián.
Perfecto Damian.. Gracias por tus comentarios.. Con la pendiente me perdi un poco y sabia que ahi estaba la falla.. Lo voy a tener en cuenta para la proxima.. !! Muchas gracias por los comentarios de siempre y por tu blog sensacional!!
El E1 es así:
Hallamos la solución general de la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:
y” + y = 0
Su ecuación característica es:
Su discriminante ([b^2 – 4ac]) es negativo, por lo cual sus raíces son complejas conjugadas (r = a +- b i).
r1 = 0 + i, r2= 0 – i
De esto nos interesa a = 0, y b = 1.
Por definición, su solución general es:
Resolviendo:
Entonces,
Su derivada es:
y’ = 2x – 1
Aplicada en el origen de coordenadas,
y’ (0) = -1
Volviendo a la EDO, por hipótesis pasa por el origen, entonces:
Entonces nos queda:
Si la pendiente de la ecuación que tenemos que hallar tiene que ser igual a -1, hallamos la derivada:
y’= c cos (x)
En ese punto,
-1 = y'(0) = c cos (0) = c 1 => c = -1
La solución particular es:
y = – sen (x)
Bueno, ahí veo que @dami lo respondió sin errores y más conciso 🙂