Final 17/12/2012

final_17_12_2012

Respuestas:

T1) y'' - 2y' = -2
T2) Resulta (u,v) = (2,1) y queda (g'_u \times g'_v)(2,1) = (-3,0,12) \neq 0 por lo tanto el punto A es un punto regular de \Sigma

E1) Una forma de plantearlo es la siguiente
\int_0^2 dx \int_x^4 dy \int_{4-x^2}^{12-3x^2} dz = \frac{104}{3}

En el siguiente gráfico se visualiza el cuerpo en color verde

final_17_12_2012_ej1
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="dark-green",
reparametrize(x, y, 4-x^2, x, 0, 2, y, x, 4),
reparametrize(x, y, 12-3*x^2, x, 0, 2, y, x, 4),
reparametrize(x, x, z, x, 0, 2, z, 4-x^2, 12-3*x^2),
reparametrize(x, 4, z, x, 0, 2, z, 4-x^2, 12-3*x^2),
reparametrize(0, y, z, y, 0, 4, z, 4,12)
);

E2) La función potencial es \phi(x,y) = x^2 g(y) + x + C, sobre el segmento de recta la circulación es 2 y sobre la semicircunferencia es -2.
Podía resultar un poquito ambigüo el enunciado en el sentido de interpretar que pida la suma, es decir sobre la recta y la semicircunferencia todo junto, en ese caso da 0 y sale fácil por green, no era la idea de Sirne cuando armó el enunciado, pero después dijo que lo aceptaba como correcto.

E3) Quedaba f'_x(1,3) = - \frac{1}{10} y f'_y(1,3) = - \frac{7}{10}, la aproximación lineal da 1,995

E4) f(0,5) es mínimo relativo, (2,1,f(2,1)) y (-2,1,f(-2,1)) puntos silla. (El criterio del hessiano decide en todos los casos).

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12 comentarios en “Final 17/12/2012

    • hola NIco , como andas , te felicito por aprobar el final , te hago una consulta , me podrias pasar la teoria de donde estudiaste , a mi mato la definicion de solucion general , me dijo q me faltaba poner q tenia n constantes , no aprobe por eso nomas . gracias

  1. Gracias Damian por mantener este site, me ayudo durante toda la cursada y con este final que aprobe.
    Unas preguntas: En el T1 se deducia que era y”-2y’=Q(x) por la forma de la solucion, pero nunca pude sacar Q(x). En el E2, me di cuenta que habia que hacer funcion potencial y la obtuve pero despues no le encontre la vuelta a esa g(y) para darle valor a la circulacion y no la podia sacar del camino. Finalmente, en el E3 f’y me quedo -6/10

    • Hola Mati,
      El T1 yo lo hice como los del TP1 derivando dos veces, pero también se podía hacer como los lineales de 2do orden, deduciendo g(x) de la solución particular que es x (reemplazando en la e.d.o. homogénea te queda -2)
      En el E2 la g(y) no la podés averiguar explícitamente, pero para calcular la circulación se cancela al evaluarla cuando haces \phi(B) - \phi(A).
      En el E3, te quedó muy parecido, debés de tener un error de cuenta.
      Saludos,
      Damián.

    • Hola calvopablo,
      Te corregí el código latex (tenés que cerrar con el símbolo $ el comando $latex)
      Tu integral según el wolfram vale 8 \pi lo que no es correcto.
      No conviene usar cilíndricas porque lo que aparecen son parábolas y no circunferencias, fijate que no hay sumas de cuadrados.
      Saludos,
      Damián.

  2. Hola, no me sale el T1. Derivo 2 veces pero despues no se que reemplazar para sacar la x y la y. Probe varias pero no sale. Si alguno me puede orientar se agradece. Saludos!

  3. Hay algo que no termino de entender del T1, obtengo como Q(x) y P(x) lo 2e^2x

    Que es lo que no estoy viendo en mi desarrollo??

    y = C_{1}e^{2x}+C_{2}+x
    y' = C_{1} 2e^{2x}+1
    y'' = C_{1} 4e^{2x}

    de la segunda derivada obtengo que

    \frac{y''}{4e^{2x}} = C_{1}

    reemplazo en la primer derivada y acomodo

    y' = \frac{y''}{4e^{2x}}2e^{2x}+1
    y' = \frac{y''}{2e^{2x}}+1
    (y' - 1)2e^{2x} = y''
    y'2e^{2x} - 2e^{2x} = y''
    - 2e^{2x} = y'' - y'2e^{2x}

    como llegaron a quitar e^{2x} como para que de y” – 2y’ = -2?

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