Final 10/12/2012

final_10_12_2012

Respuestas:

T1) No se puede porque no existe el límite \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) .
T2) El flujo es \frac{-2000}{3}\pi orientando en forma saliente, es decir que es un flujo entrante.
E1) Dicho cociente equivale a \frac{\pi}{\pi + 8}

En el siguiente gráfico se ve puede ver el conjunto D en gris, y su curva frontera \partial D en azul.

final_10_12_2012_ej1
draw2d(
color=black,
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t,0, 2*%pi),
parametric(t,t, t,-2,2),
parametric(t,0, t,-2,2),
color=blue,line_width=2,
parametric(t,t, t,0,sqrt(2)),
parametric(t,0, t,0,2),
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t,0,%pi/4)
);

E2) La circulación con orientación antihoraria es 9\sqrt{2}
E3) La función es y = f(x) = 3\sin(2x) + 2 y su imagen es [-1,5] con lo cual el mínimo absoluto es -1 y el máximo absoluto es 5
E4) El volúmen se puede plantear como la integral
\int_0^4 dy \int_{ \frac{4-y}{2}}^{4-y} dx \int_0^{4-x-y} dz = \frac{8}{3}
El siguiente es el gráfico del cuerpo en color azul

final_10_12_2012_ej4
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="blue",
reparametrize(x, y, 0, y,0,4, x,(4-y)/2, 4-y),
reparametrize(x, y, 4-x-y, y,0,4, x,(4-y)/2, 4-y),
reparametrize(x, 0, z, x,2,4, z,0,4-x),
reparametrize((4-y)/2, y, z, y,0,4, z,0,(4-y)/2)
);

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40 comentarios en “Final 10/12/2012

  1. Hola dami, gracias por subir el final, una consulta en el E1) el cociente me da mi

    \dfrac{\pi}{\frac{3}{2}\pi+8}

    haciendolo por geometria y por integrales.

    Las integrales que planteo son las siguientes, una vez encontradas las curvas y aplicada la definicion

    L=\displaystyle\int_{\pi}^{\frac{\pi}{4}}2dt+\displaystyle\int_{0}^{-2} 2dx+\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{2}dy=\dfrac{3}{2}\pi+8

    • Hola Sergio,
      Esas integrales no parecen estar bien, se suponene que son la octava parte de la circunferencia, junto a dos segmentos de recta de longitud el radio, no se como llegás a esas integrales.
      Por geometría es así: El área de un círculo de radio r=2 es \pi r^2 luego la octava parte es A = \pi/2.
      La longitud de la octava parte de la circunferencia es 2 \pi r / 8 es decir \pi/2. Hay que agregarle la longitud de ambos segmentos de rectas cuya longitud es el radio, es decir que la longitud total es L = \pi/2 + 4
      El cociente A/L = \frac{\pi}{\pi+8}
      Saludos,
      Damián.

    • Hola dami, algo debo estar fallando entonces, si lo hago por integrales, tomos las siguientes curvas

      C_1: x^2+y^2=4

      C_2: y=0

      C_3: y=x

      las parametrizaciones respectivas seran

      C_1(t)=(2\cos t, 2 sen t)\quad t\in [\pi/4, \pi]

      C_2(x)=(x,0)\quad x\in[-2,0]

      C_3(x)=(x,x)\quad x\in [0,\sqrt{2}]

      por definicion

      L=\displaystyle\int |||C'(t)|| dt

      derivando las integrales quedan

      L=\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi} 2 dt+\displaystyle\int_{-2}^{0} dx+\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{2}dx=\dfrac{3}{2}\pi+4

      ahora que lo veo en mi anterior mensaje tipee mal no era 8 sino 4, en que estoy fallando :S

    • Hola Sergio,
      Las ecuaciones cartesianas las tenés bien, pero creo que no estás visualizando bien el conjunto, fijate que ahí subí una imágen.
      En C_1 porqué de \pi/4 a \pi? Sería mejor de 0 a \pi/4
      En C_2 porqué de -2 a 0? Sería mejor de 0 a 2 (aunque la longitud en ese caso va a ser la misma).
      C_3 está bien.
      Saludos,
      Damián.

    • Dami sos un groso, tenes toda la razon, me confundio esta restriccion x-y>0 de donde x>y yo lo vi como y>x, y de ahi el error de mi parte, mil gracias por tus aclaraciones (Y)

  2. hola, es la primera vez que veo el blog, una consultaen el t1):

    si hago x->y
    y->0
    me queda (y^2+sen(y^2))/(2y^2)
    entonces (y^2)/2y^2) + 0.5 * (sen(y^2)/(y^2))
    0.5 + 0.5*1 , pues y->0
    por ultimo el limite es =1
    entonces para que exista continuidad f(0,0)=1

    • Hola Ignacio Gomez,
      Estás analizando el límite sólo por el camino y=x. Probá que pasa por el camino y=0 y vas a ver que no alcanza con pedir f(0,0) = 1 para que sea contínua en el origen.
      Saludos,
      Damián.

    • Hola dami, algo debo estar fallando entonces, si lo hago por integrales, tomos las siguientes curvas

      C_1: x^2+y^2=4

      C_2: y=0

      C_3: y=x

      las parametrizaciones respectivas seran

      C_1(t)=(2\cos t, 2 sen t)\quad t\in [\pi/4, \pi]

      C_2(x)=(x,0)\quad x\in[-2,0]

      C_3(x)=(x,x)\quad x\in [0,\sqrt{2}]

      por definicion

      L=\displaystyle\int |||C'(t)|| dt

      derivando las integrales quedan

      L=\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi} 2 dt+\displaystyle\int_{-2}^{0} dx+\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{2}dx=\dfrac{3}{2}\pi+4

      ahora que lo veo en mi anterior mensaje tipee mal no era 8 sino 4, en que estoy fallando :S

  3. Pregunta, el area del E1 esta dada (una de las condiciones) por Y>0 (debido al ln(Y)) => hay un “lado” del “cono” que no esta incluido en el recinto (el que coincide con el eje x) => tengo que sumar tambien ese radio al perimetro del recinto? yo vi que en tu resultado lo hiciste, pero me quedo esa duda

    • Hola Mariano,
      Hay que agregarlos, porque la curva es el conjunto \partial D de los puntos frontera de la región D, y acordate que los puntos frontera pueden o no pertenecer a la región. Además la frontera siempre queda una curva cerrada.
      Saludos,
      Damián.

  4. consulta Damian. Cuando me corrigieron el teorico 2 me dijeron que la esfera que resulta de integrar por teorema de gauss la podria haber calculado a mano, o sea sin integral, esto es asì? la divergencia me acuerdo me habia dado -4.
    ahora que veo los resultados, me doy cuanta que no aprobe el final por un signo.

  5. sisi sabes que el volumen de una esfera es 4/3 (pi) * r(cubo), una pregunta del E2) yo lo hice con polares , y me queda la integral que va desde 7/4pi hasta pi/4, por el coseno de tita por la integral de 0 a 3 de r cuadrado, y lo resuelvo y me da 0,9519, queria saber de donde sacan el radio de dos, gracias,

    • Hola Gabriela,
      El radio 2 es en el ejercicio E1. En tu integral el ángulo tenés que tomarlo de -\pi/4 hasta \pi/4 (siempre de menor a mayor, sino te queda negativo). Además tenés algún error de cuenta al resolverla, debería quedarte así.
      Saludos,
      Damián.

    • Hola Pablo,

      Tenés que usar la regla de la cadena al hacer las derivadas parciales, si te fijás bien g es función de una sola variable (llamala t por ejemplo), la compuesta es la que depende de dos variables.
      En este caso, la divergencia de
      f(x,y,z) = (zg(y-x), 2y + zg(y-x), xy-6z)
      se calcula como
      div(f) = -zg'(y-x) + 2 + zg'(y-x) + (-6) = -4

      (Un error común es escribir g'_x(y-x) y g'_y(y-x) y no las pueden cancelar).

      Saludos,
      Damián.

    • nosotros tenemos: Y” + 4Y = 8 (ec. dif. de 2º orden a coeficientes constantes con segundo miembro no nulo) Esto que nos dice? que debemos hallar la Sp y la Sh / SG = Sh + Sp… entonces busco Sh: r^2 + 4 = 0 => obtenemos 2 raices complejas ( 0 +- 2i ) => alfa = 0 y beta = 2…. tenemos que para raices complejas la Sh es: e^(alfa * x) * (c1 cos(beta*x) + c2 sen (beta*x)) entonces nos queda: e^(0*x)*(c1 * cos (2x) + c2 sen(2x)) y eso resumiendo nos da que Sh=C1*Cos(2x)+C2*Sen(2x) luego debemos hallar Sp…….. ensayo a “Yp” como Yp=A => Y = Yp => Y = A => Y” = 0 => 4A = 8 => A=2…………………. LUEGO DIGO QUE SG = Sp + Sh y nos queda que ********** Y(x)=(C1*Cos(2x)+C2*Sen(2x))+2 ************………………………… por la recta tangente y reemplazando en el punto, se que cuando x=0 => y=2 => reemplazo: 2 = C1 + 2 => C1=0 …………… luego derivo y me queda que Y'(x) = -2*C1*Sen(2x)+2*C2*Cos(2x) y devuelta se que la derivada en x=0 es Y’=6 (pendiente de la RTg) => vuelvo a reemplazar: 6=-2*0*Sen(0)+2*C2*Cos(0) => C2=3 Y por finnnn nos queda la ecuacion final:!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ********* Y=3*Sen(2x)+2 *******************!!!!!!!!!! luego hallo el minimo y el maximo….

  6. Damián estoy estudiando Análisis II y es impresionante lo mucho que me ayudó tu blog. Actualmente estoy estudiando a distancia, tengo una consulta nada más, que programa usas para los gráficos y tenés idea de como lo puedo conseguir? Un saludo

  7. Dami una consulta,

    En el T1, no me alcanza con decir que f(0,0) = 0/0, entonces no existe f(0,0) y que por lo tanto no cumple la primera condición de continuidad (debe existir f(A))?

      • Hola Fernando,
        No tenés que suponer que f(0,0) = 0, sino que tenés que averiguar cuanto tendría que valer f(0,0) para que la función sea contínua (o sea dicho valor es el límite, si existe).
        Saludos,
        Damián.

  8. Damian, te hago una consulta, debido a que no llego a la Sh del ejercicio E3 como lo plantean ustedes y no se donde me estoy equivocando. Yo tengo por enunciado que y”+4y= 8 . Para hallar la Sh digo que a= 1, b=4 y c = 0 y planteo la ecuacion para hallar las raices y obtengo 2 raices reales distintas: 0 y -4 . en ningun momento veo las raices imaginarias. Que estoy haciendo mal. La Sp llego correctamente. Gracias!

  9. Gente una preguntita, en el E4, dice que z>=4-x-y osea que en z=0 forma una recta en 4-x y lo otro 2x +y=4 Queda y=4-2x, eso en el primer octante, me queda de 0 a 2 arriba 4-x y abajo 4-2x pero de 2 a 4 queda 4-x arriba y 0 abajo en y . No entiendo como hicistes para hacer una integral de 0 a 4 de 4-y a (4-y)/2 si tienen techos y pisos distintos.

  10. en el E1)Una pregunta, el area del circulo, la puedo sacar dividiendo el area total de circulo en 8 partes? y la long de curva por integrales. Y si es asi, el area no deberia ser mayor que la longitud de la curva? ya que ¶+8 >¶

    • Hola Martín,
      Como aclara el enunciado, no hace falta usar integrales mientras justifiques que fórmulas usas.
      No entendí porqué afirmas que el área debería ser mayor que la longitud de la curva. (además que el enunciado no lo pregunta)
      Saludos,
      Damián.

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