Respuestas:
T1) No admite función potencial, alcanza con circular la elipse de ecuación 
T2) Como 
E1) Sale fácil en cartesianas y da
E2)
E3) Sale por rotor, es un poco larga la integral, queda así
E4) El plano tiene ecuación
y el área pedida en el 1º octante es
 | Juani Rigada en 2º Parcial Curso de Verano… |
 | Santiago Orlando en Final 19/12/2017 |
 | damidami en Final 12/12/2017 |
 | Rochas (@agustinroch… en Final 12/12/2017 |
 | Emy Goicoechea en Final 12/12/2017 |
| damidami en Final 20/07/2010 |
| Rochas (@agustinroch… en Final 20/07/2010 |
| Rochas (@agustinroch… en Final 19/07/2011 |
| damidami en Final 19/07/2011 |
| Rochas (@agustinroch… en Final 19/07/2011 |
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 | Guido Paolini en Final 21/12/2009 |
| damidami en Tp 3 Ej 3.c |
 | Guido Paolini en Tp 3 Ej 3.c |
 | Matias Isturiz en Final 24/05/2017 |
En los comentarios podés escribir expresiones matemáticas usando código 
.
Por ejemplo si escribís...
$latex 2 \int_0^4 dx \int_0^8 dz = 64 $
...se visualiza como:
Más información (en inglés)
en el punto E2 la respuesta me da asi:
a mí también
Hola Pablo y Guido,
Si no me dicen como lo hicieron no los puedo ayudar. Que les de igual no implica que esté bien, de hecho estoy seguro de tener el resultado correcto.
Edit 11/12/2012: Tenían razón, leer mi respuesta a Sergio abajo.
Saludos,
Damián.
Segun la definicion, es posible hallar una ecuacion cartesiana de las lineas de campo imponiendo que el ds sea paralelo al campo f en cada punto, es decir
con
en el ejercicio
de donde
segun wolfram
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%3Dy-x
con
finalmente
Hola Pablo, Guido y Sergio,
Tienen todos razón, ahí lo corregí, gracias :D.
El wolfram nunca se confunde 😉
Yo me había equivocado en un signo y resolví
que verifica lo que me daba antes 
.
La única dificultad de ese ejercicio son las cuentas, por eso el wolfram lo resuelve de una.
Encima si lo hacés sin el wolfram con la sustitución
, te termina quedando para integrar 
que hay que hacer por partes o usar bien la tabla de integrales. (O el wolfram, pero durante el final no se puede 😛 ).
Saludos,
Damián.
No pasa nada dami :), por lo menos eso demuestra que sos humano XD, gracias a vos por la pagina y por aclararnos todas las dudas
es cierto, yo lo hice a mano y resolvi por ecuaciones dif. lineales de 1ª orden. use de la tabla la integral 511.
el ejercicio 3 no lo pude sacar. lo hice pasando a implicitas el plano z=2x , saque el grad(plano): (2,0,-1) y aplique el terema del rotor proyectando sobre el plano xy. me darias una mano a ver como resolverlo. gracias
Hola Mauro,
, tenés que despejarlo en función de 
. Debe haber ejemplos parecidos resueltos en algún lado en este blog (o de finales resueltos, o de la práctica de integrales múltiples).
Fijate que la proyección te va a quedar el interior de una circunferencia desplazada del origen, si lo planteás en polares te queda la integral que puse en la respuesta. Para los límites de integración de
Saludos,
Damián.
en el E1) hize esto:
proyecto en el plano xz entonces:
1 2-x 1-x^2
∫ dx ∫ dz ∫ dy
0 x 0
y todo eso me da 5/6….esta mal planteado asi?
por si no se entiende de (0 a 1) dx
(x a 2-x) dz
(0 a 1-x^2)dy
ah ya se porque no nada…porque estaria considerando el primer octante nada mas no?
en realidad al proyectar en xz me olvide de la recta x=-1..que sale de y^2>=1-x^2
entonces solo me faltaba que valla del -1 al 1 en el dx, y no del 0 al 1..asi si me da..
Hola, una consulta. En el E3 tomaste el vector normal (-2,0,1)? No habría que utilizar el versor normal? Porque haciendo esto, me dio lo mismo que a vos pero sobre raiz(5)
Hola Pablo I,
No se a quien te referís con que tomó el vector normal (yo sólo puse la respuesta, no lo resolví), pero creo que te puede servir leer la respuesta a esta pregunta frecuente.
Saludos,
Damián.
Gracias Damián, no había visto esa parte del blog. Aclarando mi duda, repasé el ejercicio y está bien el resultado que publicaste 🙂
Saludos!
Perdón, una consulta estúpida, en el E3, al hacer la intersección para hallar la curva, no nos queda la circunferencia (x-1)^2 + y^2 = 1 y por ende, los límites de integración serían phi de 0 a 2 PI y ro de 0 a 1? Disculpen pero evidentemente estoy planteando mal los límites, muchas gracias.
Pepo, yo vi lo mismo y lo resolví por polares trasladadas. Los límites son: [-pi/2, pi/2] para phi, y [0, 2] para ro.
Pero tené en cuenta que x= ro*sen(phi) + 1 , como z=2x => la integral te queda distinta, pero da 2pi.
Si querés que te quede la integral de la respuesta, no traslades y como x^2 + y^2 = 2x , x^2+y^2 = ro^2 entonces 2x=ro^2 por lo que el límite de integración para ro es [0, 2*cos(phi)] … creo, pero no lo resolví así.
Saludos
Hola, una pequeña consulta, en el ejercico E4)¿Cómo parametrizas la curva?
Hola, yo parametricé g(x,y) = (x, y, h(x,y)) entonces || g’x x g’y|| = raiz( h’x^2 + h’y^2, 1) = raiz(6)
y la integral me quedaba con los límites: 0<x<2 , 0<y<4-2x
Entonces te da el resultado que plantea Dami
Perdon pero no entiendo el planteo,yo tengo entendido que tengo que fijar una variable , digamos x=t y poner las otras 2 en función de x.
=>C:(t,t^2+1-t(-2t^2/(1-3t),-2t^2/(1-3t))
C'(1)=(1;2/3;-5/2)
y el plano me queda
6x-4y-15z=-5
Lee este apunte, acá esta bien explicado como se parametrizan las superficies: https://analisis2.files.wordpress.com/2009/10/integrales-de-superficie.pdf
Primero que nada , gracias por contestar.Pero el apunte habla de como parametrizar superficies, yo apliqué eso cuando me pedian encontrar el plano tg a una superficie.
Aca me piden encontrar la curba intersección de 2 superficies y eso siempre lo resolví parametrizando una variable y poniendo las restantes en función de la misma.
Perdon, pero sigo sin ver como resolver el ejercico
Hola. Para el E4) necesitás hallar el plano normal en A. común para las 2 superficies.
Para eso, no necesitás parametrizar la curva. Tenés que hallar el producto vectorial de los gradientes que da (-2,-1,-1). Rocordá que el producto vectorial de 2 vectores da otro vector normal a ambos…
Con eso y el punto hallas la ec del plano:
= N * [ (x,y,z) – A] = (-2, -1, -1)* [(x,y,z) – (1,1,1)]
= 2x + y + z = 4
Y luego, tenés que calcular el área del plano en el 1er octante, por lo que parametrizas la superfcie como en el apunte.
Suerte!
Tenes toda la razón, estaba leyendo el ejercicio 14 de la guía 6 y me di cuenta que es casi lo mismo
Perdon por ser tan cabeza dura
Muchisimas gracias
En realidad me estoy equivocando, no hay que parametrizar la Superficie porque es un área alabeada, solo tenés que hallar el coseno director.
Gracias por todo, hoy rendí y había un ejercicio que usaba este mismo concepto, no se como hice para tener tanta suerte
Jaja, si yo también! me alegro mucho.
En el t2 no es 4/5ln2 +1.2 la rta? La derivada parcial de f respecto de y me da 2
En el E3) No puedo llegar a los limites de integración (-pi/2;pi/2). Alguien que me pueda ayudar??
Igualando las dos ecuaciones
, 
queda 
. Operando, y completando cuadrados queda 
. Eso es la proyeccion sobre el plano 
.
. En la gráfica se ve que las 
son siempre positivas. Barriendo eso con un ángulo (en sentido antihorario) se ve que es desde 
hacia 
. Eso es ![\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ctheta+%5Cin+%5B-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002 "\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]")
.
Gráficamente queda así. Es una circunferencia con centro en
Hola, para decirte rápido: 2x=x^2+y^2 es una circunferencia con centro en (1,0) y de r=1. Sale si completás cuadrados.
Si mirás el gráfico ves que el ángulo está entre -pi/2:pi/2, no es necesario justificarlo. Sino tendrías que analizar las igualdades y despejar phi para demostrarlo.
Muchas gracias a los dos! Ya lo pude entender
Dami, el T1, porque decis que no admite funcion potencial, y que basta con circular esa elipse??, si no estoy haciendo mal las cosas, alculo la matriz jacobiana y me da simetrica. Por otro lado cuando la circulo por la elipse, tambien me da 0, y esta bien porque es una curva cerrada.
Me podrias explicar porque no admite funcion potencial?? gracias!!
Listo, ya entendi, habia hecho mal la circulacion, de todos modos basta con agarrar cualquier curva que no sea conexa en el dominio de ese campo verdad?
Dami, en el t2 como realizas la verificacion de f diferenciable en A. me quede trabado ahi.
Hola Adrian,
Producto y composición de diferenciables es diferenciable. Polinomios y logaritmo son diferenciables.
Saludos,
Damián.