Final 17/12/2012

final_17_12_2012

Respuestas:

T1) y'' - 2y' = -2
T2) Resulta (u,v) = (2,1) y queda (g'_u \times g'_v)(2,1) = (-3,0,12) \neq 0 por lo tanto el punto A es un punto regular de \Sigma

E1) Una forma de plantearlo es la siguiente
\int_0^2 dx \int_x^4 dy \int_{4-x^2}^{12-3x^2} dz = \frac{104}{3}

En el siguiente gráfico se visualiza el cuerpo en color verde

final_17_12_2012_ej1
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="dark-green",
reparametrize(x, y, 4-x^2, x, 0, 2, y, x, 4),
reparametrize(x, y, 12-3*x^2, x, 0, 2, y, x, 4),
reparametrize(x, x, z, x, 0, 2, z, 4-x^2, 12-3*x^2),
reparametrize(x, 4, z, x, 0, 2, z, 4-x^2, 12-3*x^2),
reparametrize(0, y, z, y, 0, 4, z, 4,12)
);

E2) La función potencial es \phi(x,y) = x^2 g(y) + x + C, sobre el segmento de recta la circulación es 2 y sobre la semicircunferencia es -2.
Podía resultar un poquito ambigüo el enunciado en el sentido de interpretar que pida la suma, es decir sobre la recta y la semicircunferencia todo junto, en ese caso da 0 y sale fácil por green, no era la idea de Sirne cuando armó el enunciado, pero después dijo que lo aceptaba como correcto.

E3) Quedaba f'_x(1,3) = - \frac{1}{10} y f'_y(1,3) = - \frac{7}{10}, la aproximación lineal da 1,995

E4) f(0,5) es mínimo relativo, (2,1,f(2,1)) y (-2,1,f(-2,1)) puntos silla. (El criterio del hessiano decide en todos los casos).

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Final 10/12/2012

final_10_12_2012

Respuestas:

T1) No se puede porque no existe el límite \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) .
T2) El flujo es \frac{-2000}{3}\pi orientando en forma saliente, es decir que es un flujo entrante.
E1) Dicho cociente equivale a \frac{\pi}{\pi + 8}

En el siguiente gráfico se ve puede ver el conjunto D en gris, y su curva frontera \partial D en azul.

final_10_12_2012_ej1
draw2d(
color=black,
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t,0, 2*%pi),
parametric(t,t, t,-2,2),
parametric(t,0, t,-2,2),
color=blue,line_width=2,
parametric(t,t, t,0,sqrt(2)),
parametric(t,0, t,0,2),
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t,0,%pi/4)
);

E2) La circulación con orientación antihoraria es 9\sqrt{2}
E3) La función es y = f(x) = 3\sin(2x) + 2 y su imagen es [-1,5] con lo cual el mínimo absoluto es -1 y el máximo absoluto es 5
E4) El volúmen se puede plantear como la integral
\int_0^4 dy \int_{ \frac{4-y}{2}}^{4-y} dx \int_0^{4-x-y} dz = \frac{8}{3}
El siguiente es el gráfico del cuerpo en color azul

final_10_12_2012_ej4
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="blue",
reparametrize(x, y, 0, y,0,4, x,(4-y)/2, 4-y),
reparametrize(x, y, 4-x-y, y,0,4, x,(4-y)/2, 4-y),
reparametrize(x, 0, z, x,2,4, z,0,4-x),
reparametrize((4-y)/2, y, z, y,0,4, z,0,(4-y)/2)
);

Final 03/12/2012

final_03_12_2012

Respuestas:

T1) No admite función potencial, alcanza con circular la elipse de ecuación x^2 + 4y^2 = 1 para verlo.

T2) Como f es diferenciable en A, se puede aplicar la regla
f'_v(A) = \nabla f(A) \cdot v = \frac{4}{5}\ln(2) + 2

E1) Sale fácil en cartesianas y da
\int_{-1}^1 dx \int_0^{1-x^2} dy \int_x^{2-x} dz = \frac{8}{3} \approx 2,666...

E2) y = e^x + x + 1

E3) Sale por rotor, es un poco larga la integral, queda así
2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(\phi) d\phi \int_0^{2\cos(\phi)} \rho^2 d\rho = 2\pi

E4) El plano tiene ecuación 2x+y+z=4
y el área pedida en el 1º octante es 4 \sqrt{6}