Consultas de cursos del 2012

Este post lo dejo creado para que puedan escribir en los comentarios las consultas que tengas sobre los ejercicios.

Recordá que podés escribir fórmulas usando comandos latex, por ejemplo si escribís $latex \int_0^1 x^2 dx $ se ve como \int_0^1 x^2 dx, y siempre podés previsualizar el comentario para ver si quedó bien.

Para previsualizar una fórmula escrita en \LaTeX podés utilizar esta página.

Resumen de puntos en topología

Un tema que es complicado es el de las definiciones sobre los distintos tipos de puntos (interior, frontera, de clausura, de acumulación, etc) que encontramos en topología.

Se me ocurrió que podría ser útil escribirlo de esta manera.

Todas las definiciones tienen la misma estructura. Sea S \subseteq \mathbb{R}^n y x \in \mathbb{R}^n, entonces se llama punto (interior/exterior/frontera/aislado/de acumulación/etc) si (existe/para todo) / un (entorno/entorno reducido) / tal que (incluido/ intersección vacía / intersección no vacía / etc).

Comenzemos por ponerle una numeración a cada opción posible.

Cuantificador
(1) \exists
(2) \forall
Entorno
(1) A = E(x,r)
(2) A = E^*(x,r)
Tal que
(1) A \subseteq S
(2) A \cap S \neq \emptyset
(3) A \cap (\mathbb{R}^n - S) \neq \emptyset
(4) A \subseteq (\mathbb{R}^n - S)

Tomemos por ejemplo la definición de punto interior. Un punto x \in \mathbb{R}^n es interior a un conjunto S \subseteq \mathbb{R}^n sii existe un entorno E(x,r) tal que E(x,r) \subseteq S . Con nuestra numeración podemos simbolizarlo como

Punto interior cumple que (1) (1) : (1)
(existe, un entorno, tal que está incluído en el conjunto S)

De la misma forma, escribimos los otros tipos de puntos que conocemos

Punto interior (1) (1) : (1)
Punto exterior (1) (1) : (4)
Punto frontera (2) (1) : (2) y (3)
Punto de clausura (o adherencia) (1) (1) : (2)
Punto de acumulación (1) (2) : (2)
Punto aislado (1) (2) : (4)