Enunciado
T1) Indique si es o
justificando su respuesta: Si
es un campo vectorial
y
, entonces el flujo de
a través de toda superficie cerrada, regular a trozos, orientable es nulo.
T2) Enuncie el teorema de Green y úselo para hallar la integral de línea del campo sobre la frontera del recinto
P1) Sea la superficie de ecuación y su plano tangente por el punto
. Calcular el área de la porción de plano cuya proyección sobre el plano
es
P2) Calcule el flujo de a través del casquete de esfera
sabiendo de
y que la
P3) Calcular la masa del sólido limitado por ,
,
,
si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano
.
P4) Verificar que es un factor integrante de la ecuación diferencial:
Resolver la ecuación diferencial total exacta en que se transforma.
Solución: (de la parte práctica)
T1) Indique si es o
justificando su respuesta: Si
es un campo vectorial
y
, entonces el flujo de
a través de toda superficie cerrada, regular a trozos, orientable es nulo.
Aclaro que (las derivadas parciales segundas son contínuas en todo
.
Es importante saber que , luego aplicando el teorema de la divergencia para toda superficie
con las propiedades mencionadas se tiene que
(Por lo tanto la afirmación es verdadera)
T2) Enuncie el teorema de Green y úselo para hallar la integral de línea del campo sobre la frontera del recinto
draw2d(
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t,0,2*%pi),
parametric((1/2)*cos(t)+1, (1/2)*sin(t), t,0,2*%pi),
parametric((1/2)*cos(t)-1, (1/2)*sin(t), t,0,2*%pi)
);
Para el campo se tiene que
Por lo tanto la circulación pedida es cero. (Se puede hacer la circulación de la circunferencia grande y restar las que están adentro, pero todas dan cero).
P1) Sea la superficie de ecuación y su plano tangente por el punto
. Calcular el área de la porción de plano cuya proyección sobre el plano
es
Aclaro que hay un pequeño error en el enunciado y la superficie en realidad es de ecuación (sino el
no pertenece a la superficie)
Defino
Busco un vector normal
El plano es de ecuación
La parametrizo como
El área pedida es
Calculemos el área del recinto
draw2d(
parametric(t,-t, t,-2,2),
parametric(t, 2-t, t,-2,2),
parametric(t,t-1, t,-2,2),
parametric(t, t+1, t,-2,2)
);
La región de integración es un rombo de vértices ,
,
,
Considero los vectores y
que generan dicho paralelogramo, por lo tanto el área es
Finalmente, el área de la superficie es
P2) Calcule el flujo de a través del casquete de esfera
sabiendo de
y que la
El flujo total saliente usando esféricas
en este caso es fácil cambiar el orden de integración
El flujo sobre la tapa orientada hacia abajo
Por lo tanto el flujo pedido es
P3) Calcular la masa del sólido limitado por ,
,
,
si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano
.
La función densidad es
Como en el cuerpo equivale a
sobre él.
Proyecto en el plano
draw2d(
parametric(t, t^2, t, -2,3),
parametric(t, 2*t, t,-2,3)
);
La masa pedida es
lo cual segun wolframalpha da
En azul el cuerpo, y en rojo parte de la superficie cilíndrica dentro de la cual está el cuerpo.
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="red",
reparametrize(2*cos(u), v, 2*sin(u), u, 0, %pi, v, 0, 4),
color = "blue",
reparametrize(x, x^2, z, x, 0, 2, z, 0, sqrt(4-x^2)),
reparametrize(x, 2*x, z, x, 0, 2, z, 0, sqrt(4-x^2)),
reparametrize(x, y, sqrt(4-x^2), x, 0, 2, y, x^2, 2*x),
reparametrize(x, y, 0, x, 0, 2, y, x^2, 2*x)
);
P4) Verificar que es un factor integrante de la ecuación diferencial:
Resolver la ecuación diferencial total exacta en que se transforma.
Multiplico por el factor integrante
reordeno
verifico que quedó como factor integrante
Busco la función potencial de
La función potencial es
Y la SG buscada es
damian , no consegui obtener acceso a las notas , te pido que si vez este comentario antes del lunes 5 me envies mi nota a mi mail , mi nombre es gabriel noel , aula s16 curso x2181 , mi mail argentina_noel@hotmail.com