2º Parcial Curso de Verano 2012

Enunciado

T1) Indique si es $V$ o $F$ justificando su respuesta: Si $G$ es un campo vectorial $C^2$ y $F = rot(G)$ , entonces el flujo de $F$ a través de toda superficie cerrada, regular a trozos, orientable es nulo.

T2) Enuncie el teorema de Green y úselo para hallar la integral de línea del campo $F=(-x,y)$ sobre la frontera del recinto
$D = \{ (x,y) / x^2 + y^2 \leq 4 \wedge (x-1)^2 + y^2 \geq \frac{1}{4} \wedge (x+1)^2 + y^2 \geq \frac{1}{4} \}$

P1) Sea la superficie de ecuación $z = xy + \ln(x+y)$ y su plano tangente por el punto $(1,0,1)$ . Calcular el área de la porción de plano cuya proyección sobre el plano $xz$ es $D = \{ (x,z) / |x+z-1| < 1 \wedge |z-x| < 1 \}$

P2) Calcule el flujo de $f$ a través del casquete de esfera $z = \sqrt{4-x^2-y^2}$ sabiendo de $f(x,y,0) = (e^{y^2 + x^2}, x, y^2)$ y que la $div(f)(x,y,z) = 2y$

P3) Calcular la masa del sólido limitado por $x^2 + z^2 \leq 4$ , $y \geq x^2$ , $y \leq 2x$ , $z \geq 0$ si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano $xy$ .

P4) Verificar que $\mu(x,y) = e^{xy}$ es un factor integrante de la ecuación diferencial: $(x - e^{-xy} \sin y) dy + (y + e^{-xy} \cos x) dx = 0$
Resolver la ecuación diferencial total exacta en que se transforma.

Solución: (de la parte práctica)

Aclaro que $f \in C^2(\mathbb{R}^3)$ (las derivadas parciales segundas son contínuas en todo $\mathbb{R}^3$ .
Es importante saber que $div(rot(G)) = 0$ , luego aplicando el teorema de la divergencia para toda superficie $S$ con las propiedades mencionadas se tiene que
$\iint_{S = \partial H} \vec{rot(G)} \vec{dS} = \iiint_H div(rot(G)) dxdydz = 0$
(Por lo tanto la afirmación es verdadera)

draw2d( parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t,0,2*%pi), parametric((1/2)*cos(t)+1, (1/2)*sin(t), t,0,2*%pi), parametric((1/2)*cos(t)-1, (1/2)*sin(t), t,0,2*%pi) );

Para el campo $F(x,y) = (-x, y)$ se tiene que
$Q'_x - P'_y = 0$
Por lo tanto la circulación pedida es cero. (Se puede hacer la circulación de la circunferencia grande y restar las que están adentro, pero todas dan cero).

Aclaro que hay un pequeño error en el enunciado y la superficie en realidad es de ecuación $z = xy + \ln(x+y) + 1$ (sino el $(1,0,1)$ no pertenece a la superficie)

Defino $g(x,y,z) = xy + \ln(x+y) + 1 - z$
$\nabla g(x,y,z) = (y + \frac{1}{x+y}, x + \frac{1}{x+y}, -1)$
Busco un vector normal
$\nabla g(1,0,1) = (1, 2, -1)$
El plano es de ecuación
$( (x,y,z) - (1,0,1) ) \cdot (1,2,-1) = 0$
$(x-1, y, z-1) \cdot (1,2,-1) = 0$
$x-1 + 2y -z+1 = 0$
$x + 2y - z = 0$
La parametrizo como
$g(x,z) = (x, \frac{z-x}{2}, z)$
$g'_x = (1, -1/2, 0)$
$g'_z = (0, 1/2, 1)$
$g'_x \wedge g'_z = (-1/2, -1, 1/2)$
$|| g'_x \wedge g'_z || = \sqrt{1/4 + 1 + 1/4} = \sqrt{3/2}$
El área pedida es
$\iint_S dS = \iint_D \sqrt{3/2} dxdz = \sqrt{3/2} Area(D)$

Calculemos el área del recinto $D$
$|x+z-1| < 1$
$|z-x| < 1$

$-1 < x+z-1 < 1$
$-1 < z-x < 1$

$z > -x$
$x+z < 2$
$z > x-1$
$z < 1+x$

draw2d( parametric(t,-t, t,-2,2), parametric(t, 2-t, t,-2,2), parametric(t,t-1, t,-2,2), parametric(t, t+1, t,-2,2) );

La región de integración es un rombo de vértices $v_1 = (-1/2, 1/2)$ , $v_2 = (1/2, 3/2)$ , $v_3 = (1/2, -1/2)$ , $v_4 = (3/2, 1/2)$

Considero los vectores $w_1 = v_2 - v_1 = (1, 1)$ y $w_2 = v_3 - v_1 = (1, -1)$ que generan dicho paralelogramo, por lo tanto el área es
$Area(D) = \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right| = 1 - (-1) = 2$

Finalmente, el área de la superficie $S$ es $2 \sqrt{3/2} = \sqrt{6}$

P2) Calcule el flujo de $f$ a través del casquete de esfera $z = \sqrt{4-x^2-y^2}$ sabiendo de $f(x,y,0) = (e^{y^2 + x^2}, x, y^2)$ y que la $div(f)(x,y,z) = 2y$

$\iint_S f dS = \iiint_H div(f) dV - \iint_T f dS$

El flujo total saliente usando esféricas
$\iiint_H div(f) dV = 2 \int_0^{2\pi} \sin(\phi) d\phi \int_0^{\pi/2} \sin^2(\theta) d\theta \int_0^2 \rho^3 d\rho$
en este caso es fácil cambiar el orden de integración
$= 2 \int_0^{\pi/2} \sin^2(\theta) d\theta \int_0^2 \rho^3 d\rho \underbrace{\int_0^{2\pi} \sin(\phi) d\phi}_{= 0} = 0$

El flujo sobre la tapa orientada hacia abajo
$\iint_T f dS = - \int_0^{2\pi} \sin^2(\phi) d\phi \int_0^2 \rho^2 \rho d\rho$
$= - \frac{2^4}{4} \pi = -4\pi$

Por lo tanto el flujo pedido es $0 - (-4\pi) = 4\pi$

P3) Calcular la masa del sólido limitado por $x^2 + z^2 \leq 4$ , $y \geq x^2$ , $y \leq 2x$ , $z \geq 0$ si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano $xy$ .

La función densidad es
$\delta(x,y,z) = k |z|$

Como en el cuerpo $z \geq 0$ equivale a $kz$ sobre él.

Proyecto en el plano $xy$

draw2d( parametric(t, t^2, t, -2,3), parametric(t, 2*t, t,-2,3) );

La masa pedida es
$M = k \int_0^2 dx \int_{x^2}^{2x} dy \int_0^{\sqrt{4-x^2}} z dz$
lo cual segun wolframalpha da $\frac{28}{15}k$

En azul el cuerpo, y en rojo parte de la superficie cilíndrica dentro de la cual está el cuerpo.

reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) := apply( 'parametric_surface, append( subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]), ['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1]) ); draw3d(surface_hide = true, xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z", color="red", reparametrize(2*cos(u), v, 2*sin(u), u, 0, %pi, v, 0, 4), color = "blue", reparametrize(x, x^2, z, x, 0, 2, z, 0, sqrt(4-x^2)), reparametrize(x, 2*x, z, x, 0, 2, z, 0, sqrt(4-x^2)), reparametrize(x, y, sqrt(4-x^2), x, 0, 2, y, x^2, 2*x), reparametrize(x, y, 0, x, 0, 2, y, x^2, 2*x) );

Multiplico por el factor integrante
$(x e^{xy} - \sin y) dy + (y e^{xy} + \cos x) dx = 0$
reordeno
$\underbrace{(y e^{xy} + \cos x)}_{P} dx + \underbrace{(x e^{xy} - \sin y)}_{Q} dy = 0$

verifico que quedó como factor integrante
$Q'_x = e^{xy} + xy e^{xy}$
$P'_y = e^{xy} + yx e^{xy}$
$Q'_x - P'_y = 0$

Busco la función potencial de $f(x,y) = (P,Q) = (y e^{xy} + \cos x, x e^{xy} - \sin y)$

$\phi'_x = y e^{xy} + \cos x$
$\phi'_y = x e^{xy} - \sin y$

$\phi(x,y) \approx e^{xy} + \sin(x) + C(y)$
$\phi(x,y) \approx e^{xy} + \cos(y) + C(x)$

La función potencial es
$\phi(x,y) = e^{xy} + \sin(x) + \cos(y) + K$

Y la SG buscada es
$e^{xy} + \sin(x) + \cos(y) = C$

Una respuesta a 2º Parcial Curso de Verano 2012

gabriel noel dijo:

marzo 4, 2012 en 11:47 pm

damian , no consegui obtener acceso a las notas , te pido que si vez este comentario antes del lunes 5 me envies mi nota a mi mail , mi nombre es gabriel noel , aula s16 curso x2181 , mi mail argentina_noel@hotmail.com

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