2º Parcial Curso de Verano 2012

Tema 2do parcial curso verano

Enunciado

T1) Indique si es V o F justificando su respuesta: Si G es un campo vectorial C^2 y F = rot(G), entonces el flujo de F a través de toda superficie cerrada, regular a trozos, orientable es nulo.

T2) Enuncie el teorema de Green y úselo para hallar la integral de línea del campo F=(-x,y) sobre la frontera del recinto
D = \{ (x,y) / x^2 + y^2 \leq 4 \wedge (x-1)^2 + y^2 \geq \frac{1}{4} \wedge (x+1)^2 + y^2 \geq \frac{1}{4} \}

P1) Sea la superficie de ecuación z = xy + \ln(x+y) y su plano tangente por el punto (1,0,1). Calcular el área de la porción de plano cuya proyección sobre el plano xz es D = \{ (x,z) / |x+z-1| < 1 \wedge |z-x| < 1 \}

P2) Calcule el flujo de f a través del casquete de esfera z = \sqrt{4-x^2-y^2} sabiendo de f(x,y,0) = (e^{y^2 + x^2}, x, y^2) y que la div(f)(x,y,z) = 2y

P3) Calcular la masa del sólido limitado por x^2 + z^2 \leq 4, y \geq x^2, y \leq 2x, z \geq 0 si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano xy.

P4) Verificar que \mu(x,y) = e^{xy} es un factor integrante de la ecuación diferencial: (x - e^{-xy} \sin y) dy + (y + e^{-xy} \cos x) dx = 0
Resolver la ecuación diferencial total exacta en que se transforma.

Solución: (de la parte práctica)

T1) Indique si es V o F justificando su respuesta: Si G es un campo vectorial C^2 y F = rot(G), entonces el flujo de F a través de toda superficie cerrada, regular a trozos, orientable es nulo.

Aclaro que f \in C^2(\mathbb{R}^3) (las derivadas parciales segundas son contínuas en todo \mathbb{R}^3.
Es importante saber que div(rot(G)) = 0, luego aplicando el teorema de la divergencia para toda superficie S con las propiedades mencionadas se tiene que
\iint_{S = \partial H} \vec{rot(G)} \vec{dS} = \iiint_H div(rot(G)) dxdydz = 0
(Por lo tanto la afirmación es verdadera)

T2) Enuncie el teorema de Green y úselo para hallar la integral de línea del campo F=(-x,y) sobre la frontera del recinto
D = \{ (x,y) / x^2 + y^2 \leq 4 \wedge (x-1)^2 + y^2 \geq \frac{1}{4} \wedge (x+1)^2 + y^2 \geq \frac{1}{4} \}

draw2d(
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t,0,2*%pi),
parametric((1/2)*cos(t)+1, (1/2)*sin(t), t,0,2*%pi),
parametric((1/2)*cos(t)-1, (1/2)*sin(t), t,0,2*%pi)
);

Para el campo F(x,y) = (-x, y) se tiene que
Q'_x - P'_y = 0
Por lo tanto la circulación pedida es cero. (Se puede hacer la circulación de la circunferencia grande y restar las que están adentro, pero todas dan cero).

P1) Sea la superficie de ecuación z = xy + \ln(x+y) y su plano tangente por el punto (1,0,1). Calcular el área de la porción de plano cuya proyección sobre el plano xz es D = \{ (x,z) / |x+z-1| < 1 \wedge |z-x| < 1 \}

Aclaro que hay un pequeño error en el enunciado y la superficie en realidad es de ecuación z = xy + \ln(x+y) + 1 (sino el (1,0,1) no pertenece a la superficie)

Defino g(x,y,z) = xy + \ln(x+y) + 1 - z
\nabla g(x,y,z) = (y + \frac{1}{x+y}, x + \frac{1}{x+y}, -1)
Busco un vector normal
\nabla g(1,0,1) = (1, 2, -1)
El plano es de ecuación
( (x,y,z) - (1,0,1) ) \cdot (1,2,-1) = 0
(x-1, y, z-1) \cdot (1,2,-1) = 0
x-1 + 2y -z+1 = 0
x + 2y - z = 0
La parametrizo como
g(x,z) = (x, \frac{z-x}{2}, z)
g'_x = (1, -1/2, 0)
g'_z = (0, 1/2, 1)
g'_x \wedge g'_z = (-1/2, -1, 1/2)
|| g'_x \wedge g'_z || = \sqrt{1/4 + 1 + 1/4} = \sqrt{3/2}
El área pedida es
\iint_S dS = \iint_D \sqrt{3/2} dxdz = \sqrt{3/2} Area(D)

Calculemos el área del recinto D
|x+z-1| < 1
|z-x| < 1

-1 < x+z-1 < 1
-1 < z-x < 1

z > -x
x+z < 2
z > x-1
z < 1+x

draw2d(
parametric(t,-t, t,-2,2),
parametric(t, 2-t, t,-2,2),
parametric(t,t-1, t,-2,2),
parametric(t, t+1, t,-2,2)
);

La región de integración es un rombo de vértices v_1 = (-1/2, 1/2), v_2 = (1/2, 3/2), v_3 = (1/2, -1/2), v_4 = (3/2, 1/2)

Considero los vectores w_1 = v_2 - v_1 = (1, 1) y w_2 = v_3 - v_1 = (1, -1) que generan dicho paralelogramo, por lo tanto el área es
Area(D) = \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right| = 1 - (-1) = 2

Finalmente, el área de la superficie S es 2 \sqrt{3/2} = \sqrt{6}

P2) Calcule el flujo de f a través del casquete de esfera z = \sqrt{4-x^2-y^2} sabiendo de f(x,y,0) = (e^{y^2 + x^2}, x, y^2) y que la div(f)(x,y,z) = 2y

\iint_S f dS = \iiint_H div(f) dV - \iint_T f dS

El flujo total saliente usando esféricas
\iiint_H div(f) dV = 2 \int_0^{2\pi} \sin(\phi) d\phi \int_0^{\pi/2} \sin^2(\theta) d\theta \int_0^2 \rho^3 d\rho
en este caso es fácil cambiar el orden de integración
= 2 \int_0^{\pi/2} \sin^2(\theta) d\theta \int_0^2 \rho^3 d\rho \underbrace{\int_0^{2\pi} \sin(\phi) d\phi}_{= 0} = 0

El flujo sobre la tapa orientada hacia abajo
\iint_T f dS = - \int_0^{2\pi} \sin^2(\phi) d\phi \int_0^2 \rho^2 \rho d\rho
= - \frac{2^4}{4} \pi = -4\pi

Por lo tanto el flujo pedido es 0 - (-4\pi) = 4\pi

P3) Calcular la masa del sólido limitado por x^2 + z^2 \leq 4, y \geq x^2, y \leq 2x, z \geq 0 si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano xy.

La función densidad es
\delta(x,y,z) = k |z|

Como en el cuerpo z \geq 0 equivale a kz sobre él.

Proyecto en el plano xy

draw2d(
parametric(t, t^2, t, -2,3),
parametric(t, 2*t, t,-2,3)
);

La masa pedida es
M = k \int_0^2 dx \int_{x^2}^{2x} dy \int_0^{\sqrt{4-x^2}} z dz
lo cual segun wolframalpha da \frac{28}{15}k

En azul el cuerpo, y en rojo parte de la superficie cilíndrica dentro de la cual está el cuerpo.

reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="red",
reparametrize(2*cos(u), v, 2*sin(u), u, 0, %pi, v, 0, 4),
color = "blue",
reparametrize(x, x^2, z, x, 0, 2, z, 0, sqrt(4-x^2)),
reparametrize(x, 2*x, z, x, 0, 2, z, 0, sqrt(4-x^2)),
reparametrize(x, y, sqrt(4-x^2), x, 0, 2, y, x^2, 2*x),
reparametrize(x, y, 0, x, 0, 2, y, x^2, 2*x)
);

P4) Verificar que \mu(x,y) = e^{xy} es un factor integrante de la ecuación diferencial: (x - e^{-xy} \sin y) dy + (y + e^{-xy} \cos x) dx = 0
Resolver la ecuación diferencial total exacta en que se transforma.

Multiplico por el factor integrante
(x e^{xy} - \sin y) dy + (y e^{xy} + \cos x) dx = 0
reordeno
\underbrace{(y e^{xy} + \cos x)}_{P} dx + \underbrace{(x e^{xy} - \sin y)}_{Q} dy = 0

verifico que quedó como factor integrante
Q'_x = e^{xy} + xy e^{xy}
P'_y = e^{xy} + yx e^{xy}
Q'_x - P'_y = 0

Busco la función potencial de f(x,y) = (P,Q) = (y e^{xy} + \cos x, x e^{xy} - \sin y)

\phi'_x = y e^{xy} + \cos x
\phi'_y = x e^{xy} - \sin y

\phi(x,y) \approx e^{xy} + \sin(x) + C(y)
\phi(x,y) \approx e^{xy} + \cos(y) + C(x)

La función potencial es
\phi(x,y) = e^{xy} + \sin(x) + \cos(y) + K

Y la SG buscada es
e^{xy} + \sin(x) + \cos(y) = C

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