T1) Aproximando al origen por la recta y=mx:
Lim
(x,y)-(0,0) da como resultado 2m / (1+m4), con lo cual para ninguna pendiente perteneciente a los reales, dicho cociente da como resultado 2. Por lo tanto, f(x,y) no es contínua en el origen.
T2) El gradiente del campo escalar es (2x,z,y). Su divergencia es 2.
El diferencial de flujo a través del cubo es 2 dx dy dz.
Integrando con los límites, da como resultado 16.
E1) El vector normal al plano es (-2,0,1) y su norma es √5
x²+5y²+z² ≤ 45 ∩ z = 2x
x²+5y²+4x² ≤ 45
5(x²+y²) ≤ 45
x²+y² ≤ 9
Pasando a coordenadas polares el recinto sobre el plano z=0:
0≤R≤3
0≤t≤2π
El área solicitada será: A = √5 ∫∫ R dR dt
Integrando da como resultado: A = 9√5π
E4) Sobre la región de proyección D (z=0) el área de la región es un círculo con centro en (1,0) y radio 1. Por lo tanto, pasando a coordenadas polares, se tiene que:
0 ≤ R² ≤ 2 R cos t
Por lo tanto, dividiendo miembro a miembro por R (siempre que R≠0)
0 ≤ R ≤ 2 cos t
-π/2 ≤ t ≤ π/2
La altura o cota varía entre la región D (z=0) y la superficie esférica de radio 2, quedando los límites de z:
0 ≤ z ≤ √(4-x²-y²)
La densidad dependiente del vector (x,y,z) es una función campo escalar, tal que δ (x,y,z) = k |z|
Como z varía entre 0 y un valor positivo (superficie superior de la esfera), entónces δ (x,y,z) = k |z| = k z
Planteo el diferencial de masa:
dm = δ (x,y,z) dV
dm = δ (x,y,z) dx dy dz
dm = k z dx dy dz
M = ∫ dm = k ∫ z dz ∫ dy ∫ dx
M = k ∫ z dz ∫ R dR ∫ dt
M = k ∫∫ ((4-R²)/2) R dR dt
Integrando con los límites hallados, en coordenadas cilíndricas, el resultado es :
M = ¼ 5 k π
E3) Utilizando el teorema de Stokes, calculo el flujo del rotor del campo vectorial a través del área de la curva plana. La curva plana es una elipse de semieje mayor a=4 y semieje menor b=1 en el plano x=2.
Siendo el rotor del campo vectorial de (x,y,z) = (3x, -3y, 0).
La circulación del campo vectorial a través de la curva elipse (en sentido antihorario es igual a:
Ф = ∫∫ rot f(x) x dσ
dσ = (1,0,0) dy dz
Ф = ∫∫ (3x,-3y,0) x (1,0,0) dy dz
Ф = ∫∫ 3x dy dz
Pasando a coordenadas polares:
Ф = 6ab ∫∫ R dR dt
3x= 6, siendo x=2 para todo (y,z) perteneciente al conjunto simplemente conexo limitado por la elipse.
Queda que la circulación del campo vectorial a través de la curva es 6 veces el área de la elipse:
Ф = 6 a b R² π = 24 π
Hola Sergio:
Respecto al ejercicio E4, fijate que estás planteando la función escalar de densidad como k x , cuando debe ser k |z| , siendo |z| la distancia entre cualquier punto interior y frontera de la superficie y el plano xy (z=0)
En el E2 llegué hasta calcular la primer constante con la condición g(0)=3 pero no sé que vale g'(0). Asumo que tendrá que ver con la condición de máximo local pero no termino de entender por qué según la resolución en utnianos vale 0.
T1) Aproximando al origen por la recta y=mx:
Lim
(x,y)-(0,0) da como resultado 2m / (1+m4), con lo cual para ninguna pendiente perteneciente a los reales, dicho cociente da como resultado 2. Por lo tanto, f(x,y) no es contínua en el origen.
T2) El gradiente del campo escalar es (2x,z,y). Su divergencia es 2.
El diferencial de flujo a través del cubo es 2 dx dy dz.
Integrando con los límites, da como resultado 16.
E1) El vector normal al plano es (-2,0,1) y su norma es √5
x²+5y²+z² ≤ 45 ∩ z = 2x
x²+5y²+4x² ≤ 45
5(x²+y²) ≤ 45
x²+y² ≤ 9
Pasando a coordenadas polares el recinto sobre el plano z=0:
0≤R≤3
0≤t≤2π
El área solicitada será: A = √5 ∫∫ R dR dt
Integrando da como resultado: A = 9√5π
No dije nada esteban 😛 esta perfecto
Corrigo el link de arriba el correcto es
http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-final-am2-02-03-12-resuelto?pid=218111#pid218111
ahora si (=
PD dami podes eliminar el segundo mensaje ??
E4) Sobre la región de proyección D (z=0) el área de la región es un círculo con centro en (1,0) y radio 1. Por lo tanto, pasando a coordenadas polares, se tiene que:
0 ≤ R² ≤ 2 R cos t
Por lo tanto, dividiendo miembro a miembro por R (siempre que R≠0)
0 ≤ R ≤ 2 cos t
-π/2 ≤ t ≤ π/2
La altura o cota varía entre la región D (z=0) y la superficie esférica de radio 2, quedando los límites de z:
0 ≤ z ≤ √(4-x²-y²)
La densidad dependiente del vector (x,y,z) es una función campo escalar, tal que δ (x,y,z) = k |z|
Como z varía entre 0 y un valor positivo (superficie superior de la esfera), entónces δ (x,y,z) = k |z| = k z
Planteo el diferencial de masa:
dm = δ (x,y,z) dV
dm = δ (x,y,z) dx dy dz
dm = k z dx dy dz
M = ∫ dm = k ∫ z dz ∫ dy ∫ dx
M = k ∫ z dz ∫ R dR ∫ dt
M = k ∫∫ ((4-R²)/2) R dR dt
Integrando con los límites hallados, en coordenadas cilíndricas, el resultado es :
M = ¼ 5 k π
Esteban, a mi no me esta dando lo mismo que a vos la integral que planteo en cilindricas es:
E3) Utilizando el teorema de Stokes, calculo el flujo del rotor del campo vectorial a través del área de la curva plana. La curva plana es una elipse de semieje mayor a=4 y semieje menor b=1 en el plano x=2.
Siendo el rotor del campo vectorial de (x,y,z) = (3x, -3y, 0).
La circulación del campo vectorial a través de la curva elipse (en sentido antihorario es igual a:
Ф = ∫∫ rot f(x) x dσ
dσ = (1,0,0) dy dz
Ф = ∫∫ (3x,-3y,0) x (1,0,0) dy dz
Ф = ∫∫ 3x dy dz
Pasando a coordenadas polares:
Ф = 6ab ∫∫ R dR dt
3x= 6, siendo x=2 para todo (y,z) perteneciente al conjunto simplemente conexo limitado por la elipse.
Queda que la circulación del campo vectorial a través de la curva es 6 veces el área de la elipse:
Ф = 6 a b R² π = 24 π
Hola Sergio:
Respecto al ejercicio E4, fijate que estás planteando la función escalar de densidad como k x , cuando debe ser k |z| , siendo |z| la distancia entre cualquier punto interior y frontera de la superficie y el plano xy (z=0)
Ah tenes razon, pero fue un error de tipeo, ya me di cuenta del error, me comi el jacobiano de la transformacion, gracias por tus correcciones
De nada Sergio.
Nadie hizo el E2?
Esta en resuelto en este mismo enlace http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-final-am2-02-03-12-resuelto?pid=218111#pid218111
En el E2 llegué hasta calcular la primer constante con la condición g(0)=3 pero no sé que vale g'(0). Asumo que tendrá que ver con la condición de máximo local pero no termino de entender por qué según la resolución en utnianos vale 0.
Alguien que me pueda dar una mano?
Gracias!