Final 24/02/2012

Viernes, febrero 24th, 2012

Sólo resolví el E4 (divergencia restando tapa).

El flujo total (saliente, incluyendo la tapa) daba 40 \pi
El flujo sobre la tapa (orientada hacia “abajo”) daba -12\pi
Por lo tanto el flujo pedido es 40\pi - (-12\pi) = 52\pi

Como siempre pueden compartir sus resultados y resoluciones.

Anuncios

29 comentarios el “Final 24/02/2012

  1. sergio dice:

    Lo resolvi aca http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-aporte-am2-final-24-2-2012?pid=215016#pid215016

    a ver que opinan, me gustaria la opinion de dami tambien si es que podes y te das una vueltita por alla 😉

  2. Esteban dice:

    Hola Damián:
    Ayer rendí y aprobé el final.
    Los resultados que recuerdo son:
    T1) 75 pi
    E2) 58,22
    E4) 52 pi

  3. Javier dice:

    Alguien me puede explicar un poco mas el ejercicio E2), cuando me dieron el final (que no aprobe) y consulte sobre las dudas, la profesora me explico algo sobre que si aplico el gradiente sobre la ecuacion de la recta tangente X + 2y – Z daba (1,2,-1) y como la variable en Z daba -1, podia utilizar dicha direccion para calcular las derivadas o Algo asi!! En cambio si daba por ejemplo -3, tenia que dividir todo por 3 para poder aplicar eso como derivada. (No me queda muy claro)

    Si bien los otros ejercicios cometi errores de apurado, los de Funcion implicita se me dificultan bastante para encontrarle la vuelta. Gracias!!!

    • Esteban dice:

      Hola Javier: El ejercicio E2 no es de función implicita. Es una composición de funciones (un campo escalar compuesto con un campo vectorial), tal que w=h(x,y)=f(u,v) (campo escalar). A su vez, u depende de x e y ; y z es una función campo escalar de x e y (que no se conoce). Derivá h(x,y) en forma matricial para hallar el gradiente de w. Como z =f(x,y) tiene plano tangente en un punto, en ese punto z(x,y) es diferenciable, con lo cual hallás el gradiente de z(x,y) en el punto, que lo colocás dentro de la matriz diferencial. Una vez que hallás el vector h'(x,y) = grad w (u,v), realizas la aproximación por plano tangente en el punto:
      dw = (h’x h’y) x (dx dy)
      dx = 2.01 – 2 = 0.01
      dy = 1.98 – 2 = -0.02
      h(2,2) = w(u,v) = w(6,3) = 6 + 6×9 = 60
      W = 60 + (46 112) x (0.01 -0.02)
      W = 60 + 0.46 – 2.24 = 58.22

  4. Esteban dice:

    Corrigo lo anterior en la composición: w=h(x,y)=f(u,z).
    Me equivoqué en la variable: no es v sino z. Siendo u un campo escalar y z otro.
    Con lo cual, la composición final es de R2 a R. El vector (u,z) lo forman las funciones campo escalar descritas.

    • Javier dice:

      Gracias Esteban por la explicación, ahora me quedo mas claro. Me confundi Función Implicita con Composición de Funciones, por que existen ejercicios de este estilo en la guia de Función Implicita y estaba mezclando el Titulo de los Ejercicios. Ahora quedo claro la forma de resolver el ejercicio. Gracias!!!

  5. Esteban dice:

    Ejercicio E1)
    Z varía estre 3×2 y 4-x2-4y2
    Por lo tanto, para todo z, la proyección sobre el plano z=k, con k perteneciente a los reales, es 3×2=4-x2-4y2
    4×2+4y2=4
    4(x2+y2)=4
    Es una circunferencia de radio 1 con centro en el origen de coordenadas.
    Pasando a coordenadas cilíndricas:
    0<=R<=1
    0<=t<=PI/2
    3×2<=Z<=4-x2-4y2
    El diferencial de volumen se reduce a un producto doble de diferenciales, quedando:
    dV = 4(1-R2) R dR dt
    Integrando con los límites anteriores da como resultado:
    V = PI / 2

  6. Esteban dice:

    NOTA:
    En todos los casos que escribo un número real a la derecha de una variable alfabética, signiica que dicha variable está elevada a la potencia que indica dicho número real.
    (Sea 3×2, que ignifica 3 (x al cuadrado)).-

    • dami dice:

      Hola Esteban,
      No leí tus comentarios anteriores, pero te quería comentar que usando latex podés escribir lo mismo como 3x^2 (más fácil para todos entendernos)
      Saludos,
      Damián.

  7. Esteban dice:

    Gracias Damián. Lo voy a utilizar

  8. Ale dice:

    Damian de que manera se puede resolver el T2 ya que por el Hessiano se complica mucho! Gracias!

    • Javier dice:

      Ale, yo rendi el Examen y lo demostre directamente aplicando el punto (0,0) dentro de la función. De esa manera demostras que la imagen de la función son todos los valores > = 2 y en el punto (0,0) el valor que toma la función es 2, que es un Minimo Relativo y Absoluto al mismo Tiempo. Por la forma que lo exprese me lo pusieron bien la comprobación, lamentablemente de apresurado en la definición se me escapo y le agregue que era para todos los valores y me lo tomaron como que no sabia distingir lo relativo de lo absoluto. 😦 . Espero que ayude mi comentario. Si alguno lo demostro de otra forma, tambien se escuchan sugerencias. Gracias

  9. Esteban dice:

    De nada Javier

  10. Carlos dice:

    En la resolucion del E3) del link que paso Sergio. No logro entender bien como se obtiene la normal para el calculo de la tapa.
    O sea, entiendo que obtiene la normal = g’x X g’y, pero porque luego invierte el valor basandose en la regla de la mano derecha?

    Es porque la superficie esta orientada a z+ (por enunciado) entonces la tapa queda mirando a z-?
    Entiendo la regla de la mano derecha, pero no entiendo como se aplica en estos casos.

    Agradezco de antemano las respuestas.

    • Javier dice:

      Carlos, la Tapa de la superficie se encuentra proyectada sobre el plano x,y. Cuando vos tenes una Tapa Proyectada sobre xy con la normal saliente “Para abajo, digo esto para que se entienda”, la normal es (0,0,-1). El flujo de la tapa debes restarsela al Flujo calculado con la divergencia. En el caso que tomes la normal (0,0,1) deberías sumarle el Flujo de la tapa. Espero que aclare un poco mas. Cualquier cosa avisa.

  11. Carlos dice:

    Primero que nada, gracias por la respuesta. Pero la verdad, no termino de entender :S

    Decis entonces que YO DECIDO el sentido de la normal (por ende, el sentido del flujo de la tapa)?

    • Javier dice:

      De nada Carlos, Vos no decidis el sentido de la normal. La normal siempre debe ser saliente de la Superficie.

      Muchas veces lo que dicen es que para el calculo, se puede tomar la normal entrante, pero uno debe acordarse de en vez de restar, sumarle la tapa.

      El teorema de Gauss indica que vos podes calcular el Flujo de una Superficie Cerrada. Como en este caso es una Superficie Abierta, vos le debes quitar el flujo de la tapa.

      Si vos Recorres la tapa en sentido antihorario saliente, la normal debe apuntar hacia abajo, por lo que tomas la normal (0,0,-1). En el caso que vos tomes (0,0,1) vos estarias calculando el flujo de la Tapa con normal hacia la adentro.

      Tal vez Damian, pueda explicarlo mejor que yo, Aporto mis pocos conocimientos sobre el tema.

      Gracias.-

  12. Leo dice:

    Damian, me sumo al pedido de Ale y quería saber de que manera se puede resolver el T2 ya que por el Hessiano se complica mucho.

    Gracias!

    • Jose dice:

      Buenas Leo.
      Mira yo no aplique Hessiano. Yo dije que como la Raiz tiene que ser + siempre (por ser raiz par), entonces el punto (0,0) es un minimo (local y absoluto) porque no hay ningun par de X e Y que hagan que F valga menos de 2 ya que la raiz esta sumando y como dije antes es siempre positiva y el valor de este minimo es 2.
      Yo lo demostre con palabras y diciendo que el punto critico de lo que esta dentro de la raiz es el mismo punto de la raiz (por propiedades de la raiz) y el punto critico de la F es (0,0) de ahi aplicas lo que te dije arriba y ya esta.
      Espero que se entienda.

  13. Lily Luque dice:

    Dami!!

    Quería agradecerte por este log, que me ayudo a aprobar el final el viernes 24 de febrero!!!

    Besos gigantes y nuevamente mil gracias!!!

  14. javier dice:

    A ver si alguno me puede orientar una duda que tengo. En el ejercicio e4, indica que la orientacion de z debe ser positiva. y la normal que tomo es (0,0,-1) para calcular el flujo de la tapa. Por que si no seria para adentro. Cuando me indican z positiva, me esta indicando con la normal tiene que ser para afuera, o que la normal debe ser (0,0,1) . Gracias!!

    • Martin dice:

      En la consigna se refiere a la superficie abierta orientada z^{+} solo hace referencia a la orientación de esa superficie y no de todo el volumen (al que después le vas a restar la tapa).

      La normal se toma como (0,0,-1) porque cuando se usa Gauss (divergencia) para calcular el flujo, todas las normlaes van orientadas hacia afuera. En este caso, la superficie (el paraboloide) tiene normal orientada z^{+} y la tapa z^{-} . En ambos casos hacia el exterior del volumen.

      Como calculaste todo con las normales para afuera, si querés operar sobre ese mismo flujo para restarle la tapa, tenés que mantener la convención de todas las normales orientadas hacia el exterior.

      • javier dice:

        Gracias Martin por tu comentario. Y te hago una consulta adicional para seguir con el ejemplo. Que pasaria si te dijeran orientada z (negativo) . Seria coherente o no . Debido que como bien decis, cuando aplico Guass, lo estoy realizando sobre un superficie cerrada orientada hacia el exterior. Gracias!!

      • Martin dice:

        Si dijese “orientada a z^{-} ” en esa superficie abierta no podrías usar Gauss (divergencia). Tendrías que resolverlo por definición \iint_{S} {f \widehat{n}} ds donde \widehat{n} = (0,0,-1) o algun otra normal orientada hacia z^{-}

        Habría que ver si podés usar Gauss y cambiar el signo del resultado, aunque no se si se puede y no esoty seguro que funcione. Tal vez alguien más pueda aclararte eso.

      • dami dice:

        Hola Martin,
        Si necesitás flujo entrante podés usar divergencia y cambiarle el signo al resultado, efectivamente.
        Idem si querés una “tapa” en sentido “entrante”, hacés con divergencia todo saliente (restando tapas, etc), y cambiás el signo al final.
        Funciona bien, pero no hay que olvidarse de cambiar el signo (y aclarar que es por la orientación).
        Saludos,
        Damián.

      • Martin dice:

        Gracias por la aclaración Dami!

  15. javier dice:

    Gracias Martin y Damian por los comentarios.

  16. Buenas Damian! Me podrias explicar como demostrar y resolver el T2? Muchas gracias.Saludos!

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: