Final 19/12/2011

Respuestas:

T1) \int_{-\pi/4}^{\pi/4} d\phi \int_0^{ \frac{1}{\cos(\phi)} } f(\rho \cos(\phi), \rho\sin(\phi) ) \rho d\rho

T2) Se justifica mencionando el teorema de Schwartz y el hecho de que f admite una función potencial \phi \in C^2

E1) \frac{9}{2}

E2) La divergencia del campo es 4x^2, el flujo sobre la tapa es cero. Las cuentas sobre la integral triple eran complicadas, a mí me parece que la forma más sencilla es planteando en esféricas y luego aplicando una transformación lineal, todo junto la transformación sería
x = \frac{1}{2} \rho \cos(\phi) \sin(\alpha)
y = \rho \sin(\phi) \sin(\alpha)
z = \rho \sin(\alpha)
Con jacobiano |det(DT)| = \frac{1}{2} \rho^2 \sin(\alpha)
Queda 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \cos^2(\phi) d\phi \int_0^{\pi/2} \sin^3(\alpha) d\alpha \int_0^1 \rho^4 d\rho = \frac{\pi}{15}

E3) f(x,y) = xy + 2x + y + 5,
\hat{r}_{max} = \frac{1}{\sqrt{5}} (2,1)
f'((0,0), \hat{r}_{max}) = \sqrt{5}

E4) Los puntos críticos son (0,2) (silla), (0,-2) (silla), (2/3,0) (corresponde al mínimo relativo) y (-1,0) (corresponde al máximo relativo).
Entonces A=(-1,0,3) y B=(2/3, 0, -44/27)
Y finalmente h(B) - h(A) = -\frac{125}{3}

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26 comentarios en “Final 19/12/2011

  1. Hola Damián, mi nombre es Leonardo Servalli, y estuve en el último final que tomaron de Análisis 2 (vos me lo corregiste y me comentaste sobre este blog).
    Si podes, enviame un correo a leonardoservalli@gmail.com, ya que quiero consultarte sobre clases particulares.

    Saludos!

  2. Hola Damian mi nombre es Jose Tantera y estoy un poco atascado con el punto 3 y 4. Podrias explicar un poco mas como llegas a la F(x,y) en el 3 y como averiguas los puntos silla en el 4?
    Te dejo mi mail por si acaso.
    Muchas gracias!

    Jose.tantera@gmail.com

  3. Hola Damián, necesito tu ayuda con el E2. Si es una superficie abierta, podemos usar divergencia? La superficie entiendo que es una r
    ésfera, cual seríacla tapa que mencionas? Es bastante lo que te consulyo, perdon las burradas.

    • Hola Mauro,
      La superficie del ejercicio E2 no es una esfera, es un elipsoide. En realidad ni siquiera es un elipsoide, es medio elipsoide (por eso es abierta).
      Para usar divergencia tenés que cerrarlo con una superficie “tapa”. Yo elegí la elipse que queda sobre el plano xy al proyetar la superficie. Fijate que el flujo sobre cualquier superficie incluida en el plano xy es cero, pues sobre el plano xy se tiene que z=0 y al hacer el producto escalar con la normal te queda la tercer componente del campo es decir x^2 z - z, que es idénticamente cero cuando z=0.
      Saludos,
      Damián.

  4. Ahí entendí. Al dejar la ecuación como z^2 + 4x^2 + y^2 = 1 no tuve en cuenta que la raíz sólo permitía media elipsoide. Lo voy a volver a plantear a ver si me sale. Gracias!

  5. Hola Damián, te escribo porque me surgió la siguiente duda:

    E2) Para calcular la divergencia:

    div \bar{f}=\triangledown \cdot \bar{f}=\frac{\partial f_{1}}{\partial x}+\frac{\partial f_{2}}{\partial y}+\frac{\partial f_{3}}{\partial z}

    div \bar{f}=[z\cdot g_{x}^{'}(x-yz)+3x^2]+[g_{y}^{'}(x-yz)(-z)+1]+[x^2-1]=\cdots =4x^2

    Mi problema está donde los “…”: ¿Qué me permite afirmar la siguiente igualdad?

    g_{x}^{'}(x-yz)=g_{y}^{'}(x-yz)

    Porque calculando la matriz jacobiana, la misma no resulta simétrica, por lo que no existe función potencial -> no puedo asegurar que se cumplen las hipótesis del Teorema de Schwarz (la matriz jacobiana, con las derivadas parciales de las componentes representa las derivadas segundas de la función potencial).

    Por favor decime que concepto teórico estoy errando, o cual tengo que repasar.

    Gracias y saludos, Alejandro.-

    • Hola Alejandro,
      “decime que concepto teórico estoy errando, o cual tengo que repasar”
      Rta: Regla de la cadena.

      La función g depende de una sola variable, por lo tanto tenés g' pero no g'_x ni g'_y, por eso se cancelan.

      Saludos,
      Damián.

  6. Te puedo preguntar como planteas la integral en el e1)
    O sea para el calculo de areas yo utilzaria la espresidon de la integral
    \int x dy
    pero no entiendo bien como despejas Y para averiguar los limites de integracion

  7. perdona me equivoque de ejercicio….
    en el e1) primero de todo hallo el gradiente, con el gradiente armo el vector normal y de ahi allo la expresion de cos(n:versor k)….el tema es me queda algo que es un choclo y medio que me trabe

  8. Hola Damian, no me sale un ejerciocio a ver si me podes ayudar

    pide hallar el volumen de x*2+y*2=5 con z>= x*2 y y<=x en el primer octante
    sobre le plano zx, me queda un cuarto de arco de radio raiz de 5, con media parabola, eso lo extiendo hacia el eje y quedanme un cilindro atravesado por x*2, y el plano x=y me corta diagonalmente la figura partiendo desde el origen con un angulo de 45°

    empeze con cilindricas x=r cos a, z=r sen a, y=y.
    0<a<pi/2
    0<y< r cos a

    no se si el radio lo acote bien, me quedo sen a/ cos*2 a<r< raiz de 5

    el ejercicio esta en el final tema 138
    empeze a integrar asi como lo hize y no llegue a nada, si me podrias ayudar estaria genial! gracias

    • Hola Ramiro,
      Fijate si podés escribir tus preguntas en latex.
      Supongo que la primer restricción es x^2 + y^2 \leq 5
      En principio me parece más fácil proyectar sobre el plano xy.
      Saludos,
      Damián.

  9. es que me confundi te pase mal el cilindro ahora te lo paso bien
    Hallar el volumen del cuerpo delimitiado por x^2+z^2=5 , z\geqx^2 , y\leqx

    • Para que parsee latex tenés que poner el tag correspondiente, ejemplo $latex z \geq x^2 $ visualiza z \geq x^2.

      Es importante lo del 1º octante. Ahora creo que conviene proyectar en xz pero plantear en cartesianas.
      Saludos,
      Damián.

  10. Damián, sobre el ejercicio E2, al hacer la integral triple de la divergencia no puedo plantear polares considerando los siguientes límites?: tita entre 0 y 2 pi, r entre 0 y 1, y z entre 0 y la ecuación de la superficie. lo hice de esta manera y no llego al mismo resultado.

    • Hola Laura,
      Eso es como querer calcular el área de una elipse usando polares, no es fácil de hacerlo bien. (Me parece que lo que hicistes fué cambiar el semielipsoide por una semiesfera)
      Te recomiendo el cambio de variables que sugerí antes de poner el resultado.
      Saludos,
      Damián.

  11. Hola Damian, ando medio perdido con las ecuaciones diferenciales de la segunda parte, si no me equivoco las de segundo orden, cuantos metodos de resolucion hay y que nombres se les suelen dar? si me podrias ayudar, tengo varios apuntes y me mezclo un poco. Gracias!

    • Hola Ramiro,
      Son EDO homogénea, exacta, convertible a exacta (factor integrante) y lineal de 2º orden.
      Cada una tiene su método. La última a su vez se clasifica en homogénea o no homogénea y a coeficientes constantes o variables. (nuévamente cada uno con su método).
      Saludos,
      Damián.

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