Final 12/12/2011

Martes, diciembre 13th, 2011

T1) Defina derivada direccional y derivadas parciales de un campo f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}. Dado el versor \hat{r} = (u,v) y el punto \vec{A} = (2,1), el campo f diferenciable tiene derivada direccional f'(\vec{A}, \hat{r}) = 3u + 2v; analice si la recta normal a la superficie de ecuación z=f(x,y) en (2,1,z_0) tiene algún punto en común con el eje z.

T2) Defina solución general (SG) y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Sabiendo que y=C_1 + C_2 e^{-2x} es la SG de y'' + by' + cy = 0, halle la SG de y'' + by' + cy = 6.

E1) La ecuación xz + e^{z-2y} - 7 = 0 define implícitamente a la superficie \Sigma en un entorno de \vec{A} = (3,1,z_0), siendo \pi_0 el plano tangente a \Sigma en \vec{A}, calcule el área del trozo \pi_0 en el 1º octante con y \leq 5.

E2) Calcule la masa del cuerpo definido por z \geq y^2, x+z \leq 4, 1º octante, siendo \delta(x,y,z) = kxy con k constante su densidad en cada punto.

E3) Sea D el cuerpo cuyos puntos cumplen con \sqrt{4 - x^2 - y^2} \leq z \leq 4 - x^2 - y^2, con superficie frontera \partial D. Sabiendo que \iint_{\Sigma_1} \vec{f} \cdot \hat{n} d\sigma = 12\pi siendo \Sigma_1 la porción esférica de \partial D orientada “saliente de D” y que div \vec{f}(x,y,z) = 2x, calcule el flujo de \vec{f} a través de la otra porción de \partial D e indique gráficamente cómo ha decidido orientarla.

E4) Dado \vec{f} \in C^1 tal que \vec{f}(x,y) = (g(y-x) - y^2, xy - g(y-x)), calcule la circulación en sentido positivo de \vec{f} a lo largo de la frontera de la región plana definida por: y \geq |x|, x^2+y^2 \leq 2y.

Respuestas:

T1) La recta puede parametrizarse como
r(t) = (2+3t, 1+2t, z_0 - t)
y no intersecta al eje z.

T2) La ecuación característica es (x-0)(x+2) = x^2 + 2x de donde b=2 y c=0
Una solución particular es y=3x, la SG pedida es
y=C_1 + C_2 e^{-2x} + 3x

E1) La ecuación cartesiana del plano es x - y + 2z = 6, y el área pedida es \sqrt{6} \frac{85}{4}.

Resolución:
Averiguo el valor de z_0, el mismo cumple que
3z + e^{z-2} - 7 = 0
de donde se ve que z_0 = 2

Sea F(x,y,y) = xz + e^{z-2y} - 7, entonces
\nabla F(x,y,z) = (z, -2e^{z-2y}, x + e^{z-2y})
\nabla F(3,1,2) = (2, -2, 4)

Luego la ecuación del plano tangente es
2(x-3) -2(y-1) + 4(z-2) = 0
2x -2y + 4z -6 +2 -8 =0
x -y +2z = 6
y = x+2z-6

Parametrizo \Sigma como
g : D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3
g(x,z) = (x, x+2z-6, z)

Como debe estar en el 1º octante se cumple
x \geq 0
z \geq 0
x+2z-6 \geq 0

x + 2z \geq 6

Por ser y\leq 5 debe cumplirse
x+2z-6 \leq 5
x + 2z \leq 11

Por lo tanto el dominio de g es
D = \{ (x,z) \in \mathbb{R}^2 : x,z \geq 0, 6 \leq x+2z \leq 11 \}

g(x,z) = (x, x+2z-6, z)
g'_x = (1, 1, 0)
g'_z = (0, 2, 1)
g'_x \times g'_z = (1, -1, 2)
|| g'_x \times g'_z || = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}

Por lo tanto el area pedida es
\iint_{\Sigma} dS = \sqrt{6} \iint_D dxdy = \sqrt{6} Area(D)

Usando que el area de un triángulo es base por altura sobre 2, y restando al triángulo de afuera el triángulo de adentro da:
Area(D) = 121/4 - 9 = 85/4

Luego el area pedida es \sqrt{6} \frac{85}{4}

E2) Había muchas formas de plantear esta integral, una de ellas por ejemplo
M = k \int_0^2 y dy \int_0^{4-y^2} x dx \int_{y^2}^{4-x} dz
y daba como resultado \frac{16}{3}k

E3) El flujo sobre \Sigma_1 te lo dan como 12\pi y la divergencia sobre el cuerpo da cero, así que el flujo “saliente” (hacia “arriba”) sobre \Sigma_2 es -12\pi

E4) Salía por Green con Q'_x - P'_y = 3y. Queda una integral medio incómoda de resolver.
Igual se puede hacer de varias formas. Por ejemplo por polares común (sin trasladar), o sinó haciendo parte en cartesianas y parte en polares traladadas y usando (justificando bien) propiedades de simetría (ojo que hay que ver la simetría de la función a integrar, no sólo de la región).
En fin, planteándola en polares común terminaba quedando
3 \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \int_0^{2\sin(\phi)} \rho^2 d\rho = \frac{3}{2}\pi + 4

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18 comentarios el “Final 12/12/2011

  1. Jesica dice:

    Gracias! 😀

  2. Mariano dice:

    Gracias por la resolucion, estuve resolviendo el final y me dan todos los ejercicios como dice aca, el unico problema que tengo es que el E1 me da bien si lo proyecto en el YZ pero si lo quiero proyectar en el XY me da distinto, la region de integracion me quedo asi:

    \int_{6}^{11} dx \int_0^x-6 dy = 25/2 \sqrt{6}

    ¿esta mal mi region de integracion o por algun motivo no se puede proyectar en el XY?

    • dami dice:

      Hola Mariano,
      Había un par de errores que corregí en tu código latex.
      De todas formas algo que no entiendo es de donde sale el -6 en tu integral, eso tiene que estar mal porque estás calculando un área y si el integrando es negativo la integral da negativo.
      La superficie (el plano) de ese ejercicio se puede proyectar sobre cualquier plano coordenado. Revisá la integral, tiene que dar lo mismo si está bien planteada.

    • Mariano dice:

      Quise poner raiz de 6 no -6, la verdad ya lo hice varias veces y no veo en que me estoy equivocando, en un rato lo voy a tratar de hacer de nuevo a ver si me da lo mismo, me imagino que lo que debe estar mal es la region de integracion porque las cuentas las revise varias veces y para mi estan bien.

  3. Mariano dice:

    $latex \int_{6}^{11} d\x \int_0^x-6 d\y = 25/2 sqrt {6}

  4. Li dice:

    Podrían pasar la resolución de este final porque me costaron resolver la mayoría y no lo logro llegar al resultado.

    Saludos y mil gracias!!!

  5. fernando dice:

    Una consulta. A mi en el T2, me queda y= (-1/2) Ce^(-2x)+C2+3x

    No entiendo poruqe no agregaron el termino (-1/2). Gracias saludos

  6. fede dice:

    Damian, en el E4, cuando armas la integral tenes que colocar el 3Y, no debería quedar rsen(p) queda rsen(p)+1?? ya que la circunferencia esta desplazada hacia arriba en 1.

  7. fede dice:

    no me hagas caso dami! me enrosque con cualquier cosa, ya me salio!

  8. Ezequiel dice:

    Hola Damian! Quería consultarte sobre el ejercicio E1. Podrías confirmarme si el resultado es Raiz de 6 por 85/4?
    Lo proyecte sobre los dos planos y me da Raiz de 6 por 25/4.
    Podrías plantearlas?
    Gracias!!
    Slds.

  9. Javier dice:

    Hola Damian, una consulta sobre el ejercicio T1: ¿como obtenes el valor -1 para la tercer componente del vector director de la recta normal? Las dos primeras entiendo son iguales a la del gradiente de f en el punto a, pero no entiendo como sacar el valor de “z”.

  10. gustavo dice:

    en el e4, al estar desplazada la circuferencia en el eje Y…no se tendria que reemplazar y: ro.sen(p) +1

    • Sí esta bien, pero en su resolucion damian no desplazo la circunferencia, de hecho te dice “tomando coordenadas polares comunes” o sea sin deplazarlas de ahi los limites que el propone , si lo desplazas es como vos decis pero ojo con el limite en tita si haces eso 😉

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